数学

質問

2つの列ベクトルx,y∈R^2が、線形独立かつ
||x|| = ||y|| = 1を満たすとき、
2x2行列A = xxT + yyTに関する次の問に答えよ.
ただし、xTは行列xの転置を表す.
(1)
Aは正則であることを示せ.
(2)
Aは対角化可能である.その理由を述べよ.
(3)
Aの固有値と固有ベクトルをすべて求めよ.
という問題があります.
誰か分からないでしょうか.

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

x=(x_1,x_2)T
y=(y_1,y_2)T
xTy=(xとyの内積)
とすると
A=
(x_1^2+y_1^2,x_1x_2+y_1y_2)
(x_2x_1+y_2y_1,x_2^2+y_2^2)
=
(1,xTy)
(yTx,1)

(1)
Aが正則でないとすると
|A|=(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2
=(x_1y_2-y_1x_2)^2=0
→x_1y_2-y_1x_2=0
→(y_2)x-(x_2)y=y_2(x_1,x_2)-x_2(y_1,y_2)=0
↓x,yは一次独立だから
x_2=y_2=0となって(x_2)^2+(y_2)^2=1に矛盾するから
Aは正則である
(2)
A=
(1,xTy)
(yTx,1)
xTy=yTx
だからAは実対称行列だから
直交行列L=
(1/√2,1/√2)
(-1/√2,1/√2)
とすると
LA(LT)=
(1+xTy,0)
(0,1-xTy)
と対角線形となる
(3)
aを固有値,Eを単位行列とすると
|A-aE|=(1-a)^2-(xTy)^2=0
固有値
a=1±(xTy)

(1,xTy)(u)=((1+xTy)u)
(yTx,1)(v).((1+xTy)v)
u+v(xTy)=(1+xTy)u
(xTy)u+v=(1+xTy)v
v=u

固有値
1+xTy
に対する固有ベクトルは
(u,u),(u∈R)

(1,xTy)(u)=((1-xTy)u)
(yTx,1)(v).((1-xTy)v)
u+v(xTy)=(1-xTy)u
(xTy)u+v=(1-xTy)v
v+u=0

固有値
1-xTy
に対する固有ベクトルは
(u,-u),(u∈R)

お礼

ありがとうございます