数学（行列，微分・積分、ベクトル）

質問

問1 次の微分・定積分を求めなさい。

(1)d/dx{log|cos(x)|} = -sin(x)/cos(x)
(2)∫(0→1) xe^-x dx =1-2e^(-1)

問2 行列A=
(3 4)
(1 0) について以下の各問に答えなさい。

(1)行列Aの固定値と固有ベクトルを求めなさい。

Aの固定値は λ=4, -1
λ=4の場合の固有ベクトルは　X1=C1(4,1) (C1:任意定数)
λ=-1の場合の固有ベクトルは　X2=C2(-1,1) (C2:任意定数)

(2)(1) で求めた固有ベクトルを用いて、行列Aを対角化しなさい。

対角行列P=
(4 -1)
(1 1)　とおく。

P^(-1)AP=
(4 0)
(0 -1)

問3原点O(0,0)，点A(4,-1)，点B(2,2)がある時以下の各問に答えなさい。

(1)ベクトルOAとＯＢ長さと内積OA*OBを求めなさい。

OA=<4,-1>,OB=<2,2>
|OA|= √17，|OB|=√8
OA*OB=8-2=6

(2)∠AOBをθとする時，cosθとsinθを求めなさい。
cosθ=3/√34
sinθ=5/√34

(3)三角形OABの面積を求めなさい。
S=1/2|OA×OB|=5

問4　曲線 y =x^2 と直線y=2x によって囲まれた部分の面積を求めなさい。
S=∫(0→2) 2x-x^2= 4/3

解答がないため，解答のチェックをお願いしたいのですが，よろしくおねがいします。

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こちらも検算してみました。
おおむね正しいと思いますが、２、３表記に関してだけ。

問１
(1)　-sin(x) / cos(x) = -tan(x)
(2)　1 - 2e^(-1) = 1 - 2/e

問３
(3)　S = (1/2)|OA×OB| = 5
これは答えは正しいですが、途中式の表記がまずい気がします。
OA, OB が３次元ベクトルならたしかに

　　|OA×OB| = |a||b|sin(θ)

ですが、これらは２次元ですからベクトル積は定義されません。
２次元の場合はクロス積もスカラーになります。すなわち、

　　OA×OB = |a||b|sin(θ)

です。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。