図形の問題がわかりません

質問

同一平面上に４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、Ｏは△ＡＢＣの外接円の中心である。
ＡＢ＝５、ＢＣ＝８、ＣＤ＝５、ＤＡ＝３、∠ＡＢＣ＝６０°とする。
（１）ＣＡ＝
（２）ｃｏｓ∠ＣＤＡ＝
（３）△ＡＢＣの外接円の半径Ｒ＝
（４）△ＯＣＡの面積Ｓ１＝
（５）四角形ＡＢＣＤの面積Ｓ２＝

どれか１つでもいいので、解き方を教えてください。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

81)余弦定理を使って
AC^2=AB^2+BC^2-2×AB×BC×cos∠ABC
=5^2+8^2-2×5×8×cos60°
=25+64-80×(1/2)
=49
AC=7

(2)余弦定理を使って
cos∠CDA=(DA^2+CD^2-AC^2)/(2×DA×CD)
=(3^2+5^2-7^2)/(2×3×5)
=(9+25-49)/30
=-15/30=-1/2

(3)正弦定理より
AC/sin∠ABC=2R
7/sin60°=2R
14/√3=2R
R=7/√3=7√3/3

(4)∠OCA=120°
OA=OC=7√3/3
△OCA=(1/2)×OA×OC×sin120°
=(1/2)×(7√3/3)×(7√3/3)×(√3/2)
=49√3/12

(5)ABCD=△ABC+△ACD
△ABC=(1/2)×AB×BC×sin60°
=(1/2)×5×8×(√3/2)
=10√3
△ACD=(1/2)×DA×CD×sin120°
=(1/2)×3×5×(√3/2)
=15√3/4
ABCD=10√3+15√3/4
=55√3/4

最後の方の計算は合っているかどうかわかりませんので自分でやってみてください

お礼

正弦定理と余弦定理の使い方がよくわかるようになりました。
Ｓ＝（１／２）×ｃ×ａ×ｓｉｎＢみたいな公式も、意味や利用方法が理解できてきました。
ありがとうございました。

補足

丁寧に教えてくださって、ありがとうございます。
お詫びなのですが、最初のほうで問題文を写し間違えました。
同一平面上に５点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、です。
最初の３つは理解できて、答え合わせの結果も正解でした。
４問目で質問があるのですが、∠OCA=120°となる理由がよくわからないので教えてもらえないでしょうか。
５問目は正解が２つあるみたいで、そのうち１つがtomokoichさんの答えと同じです。
ヒントがなく答えだけなので、どうして答えが１つじゃないのかわかりません。
できれば、そこも教えていただけませんか。

回答No.4

uchinogako

これは自分の力で解こう。こういったところで質問するものではありません。もし、質問するのであれば、
(1)明確にここが分からないというのが伝わるようきちんと書くこと。
(回答者から見れば、問題全体が分からないのか、一部が分からないのか判断に困るので、完全に解決できる回答ができない。)
(2)『自分はこう考えた。でも解けなかった。』のような質問にすること。

　こういったことをしないのであれば、いくらここに質問をしても、次々に分からないことが増えていくだけです。

お礼

優しい方々の好意に甘えてしまって、ごめんなさい。
自分の力で解けるなら質問はしないのですが、ご指摘の内容は肝に銘じて以後気をつけます。
今回質問していろいろ教えてもらったことで正弦定理や余弦定理の利用のしかたがわかってきて、類題なんかも自力で解けるようになりました。全部じゃないですが。
今後も似たような問題で質問を繰り返したら、そのときはただの馬鹿だとみなして再度お叱りください。

回答No.3

htms42

横から失礼します。

（５）２つ解があるのはＤが△ＡＢＣの外部にある場合と内部にある場合の2つの場合があるからです。
　　Ｓ２＝Ｓ１±（△ＡＣＤの面積）
　　になります。

お礼

tomokoichさんから教わって、△ＡＢＣ＝１０√３、△ＡＣＤ＝１５√３／４となることが理解できました。
Ｓ２＝Ｓ１±（△ＡＣＤの面積）というのはよくわからないのですが、Ｄが△ＡＢＣの内部にあるかもしれないことは図を描いて納得しました。
Ｓ２＝１０√３＋１５√３／４のほかに、Ｓ２＝１０√３－１５√３／４も答えだということですね。
答えは５５√３／４と２５√３／４なので、疑問が解決しました。
ご教授、ありがとうございました。

回答No.2

tomokoich

回答遅くなってすみません∠OCAではなくて∠COAの間違いでした。
∠COAは中心角で∠ABCは∠OCAと同一の円周角なので60°の2倍ということでして・・

(5)は答えは一つだと思うんですが、もう一つの答えの方を書いていただければ考えますね・・

お礼

∠ＣＯＡ＝１２０°ですね？
それならわかります。
∠ＯＣＡ＝３０°だと自分で考えたので、∠ＡＢＣは∠ＯＣＡと同一の円周角なので６０°の２倍というところがまだよくわからないのですが、とにかくありがとうございました。
（５）のもう１つの答えは解決したみたいなので、そのこともお礼申し上げます。