この図形問題の解法を教えてください

質問

三角形ABCがある。（AB=5,BC=6,CA=4）この三角形に外接する円Oがある。また、辺ABと辺CAと円Oに内接する円Pがある。この円Pの半径を求めなさい。

以上です。よろしくお願いいたします。

ペイントで作成した画像が添付できませんでした；；すみません。

回答No.1

mizuwa

概略です。

●図を参照してください。

△ＡＢＣの内接円の中心をＩ，半径をｒ
△ＡＢＣの外接円の中心をＯ，半径をＲ
辺ＡＢと辺ＣＡと円Ｏに内接する円の中心をＰ，半径をｐ

辺ＡＢと円Ｉとの接点をＤ
辺ＡＢの中点をＭ
辺ＡＢと円Ｐとの交点をＥ
円Ｏと円Ｐの接点をＱ
Ｏから線分ＰＥに引いた垂線とＰＥとの交点をＦ

●準備I
余弦定理より、cosＡ＝1/8
三角比の相互関係より、sinＡ＝(3/8)√7
正弦定理より、Ｒ＝(8/7)√7
面積の公式より、△ＡＢＣ＝(15/4)√7
面積と内接円の半径，辺の長さの関係より、ｒ＝(1/2)√7
内接円の接点と頂点の距離の関係から、ＡＤ＝(3/2)
ＭがＡＢの中点なので、ＡＭ＝5/2

●準備II
△ＡＩＤ∽△ＡＰＥより、ＡＤ：ＡＥ＝ＩＤ：ＰＥで、
ＡＤ＝3/2，ＩＤ＝ｒ＝(1/2)√7，ＰＥ＝ｐより
…ＡＥ＝(3/7)√7ｐ

ＯはＡＢの垂直二等分線上にあるので、直角三角形ＡＯＭで
ＡＭ＝5/2，ＡＯ＝Ｒ＝(8/7)√7より
…ＯＭ＝(9/14)√7

●直角三角形ＯＦＰについて
(1)ＯＰについて
…円Ｏと円Ｐが接することから、ＯＰ＝ＯＱーＰＱ＝(8/7)√7－ｒ

(2)ＯＦについて
…ＯＦ＝ＭＥ＝ＡＥ－ＡＭ＝(3/7)√7ｐ－(5/2)

(3)ＰＦについて
…ＰＦ＝ＰＥ－ＦＥ＝ＰＥーＯＭ＝ｐ－(9/14)√7

ＯＰ^2＝ＯＦ^2＋ＰＦ^2　から、ｐについての方程式をｐ＞0で解き
…ｐ＝(8/9)√7

お礼

分かりやすく図まで添付していただきありがとうございました！

親戚の中学生に質問されたのですが解けなくてお恥ずかしい限りです。これで何とか顔が立ちそうです。

高校数学を必要とする上の３つに関しては、中学生にも分かるよう落し込めたので何とか解説できそうです！

本当にありがとうございました。