絶対値の性質

質問

-|a|≦a≦|a| 左側の等式はa≦0 右側の等式はa≧0のとき成立。
これで場合分けするとき＜a＜０のとき＞の証明を詳しく教えて下さい！

回答No.3

noname#137826 · ベストアンサー

|a| = -a となるのは a ≦ 0 のとき であることに注意してください。-a ≧ 0 ですから、|a| ≧ 0 となりますよね。

具体的な数字を入れて考えると見通しが良くなるかもしれません。例えば、a = -3 を考えてみましょう。

絶対値は3ですね。つまり、|-3| = 3 です。ここで、右辺にはマイナスが付いていないから、|a| = a なのではないかと思ったのでしょうか。しかし、|a| = a に a = -3を代入すると |-3| = -3 ・・・おかしなことになりますね。これが |a| = -a ならば a = -3 を代入すると |-3| = 3 となり正しくなります。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

「絶対値は負の数にならない」という考えはあっています。

ただ、「-aは負の数」という考え方が間違っています。
実は-aは正の数になる事もあるし、ゼロになる事もあるし、負の数にもなるんです。
例えばa = 4の時、-aは負の数ですよね。
でもa = -4の時、-aは正の数になりませんか？

同様に、aや+aも正の数とは限りません。
aや+aが負の数になる事もあります。

基本的に文字式は、ぱっと見ただけではプラスかマイナスかなんて分からないんです。
単にxとかyとか書かれていても、それが正の数であるとは限りません。
同様に-xとか-yとか書かれていても、それが負の数であるとは限りません。
結構多くの人が間違うので、この事は常に注意しておいた方が良いと思います。

お礼

そういうことなんですか。
わかりやすい説明有難うございました。

回答No.1

noname#137826

定義通り絶対値を外せばよいだけですよ。

a ≧ 0 のとき |a| = a
a ≦ 0 のとき |a| = -a

ですから、

a ≧ 0 のとき、-|a| ≦ 0 ≦ a = |a|、つまり、-|a| ≦ a = |a| (等号成立は a = 0 のとき)
a ≦ 0 のとき、-|a| = a ≦ 0 ≦ |a|、つまり、-|a| = a ≦ |a| (等号成立は a = 0 のとき)

となります。2つの不等式をまとめるとご質問にあるような不等式になるわけです。

お礼

ありがとうございます。

補足

絶対値は距離でマイナスにはならないのに
なぜ |a| = -a
になるか教えて下さい。