恒等式の性質について

質問

P(x)がxの多項式であり、P(x)=0がxの恒等式である場合、P(x)の各項の係数は0になります。そこで疑問があるのですが、P(x)は一般的なx、x^2、x^3のような項からなる多項式ではなく、sinやsign関数が混ざった場合や、他変数関数の場合でもこれは成立するのでしょうか？
例えばa*x/cosx+b*x^2sinx=0の場合、a=b=0は成り立つのか、ということです。この例の場合は成り立ちますが、(xの範囲指定が必要ですが、それは無視していただいても構いません)、一般的な証明が知りたいです。
ネットで調べたところ、あまりそのようなものが無かったので、ここで質問させていただきました。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.5

rabbit_cat

a*f(x)+b*g(x)=0 なら a=b=0
が成り立つとき、f(x)とg(x)は一次独立といいます。
「関数論」と言われる分野のの本を読めば、もっと一般的な話がたくさん載っています。

とりあえず、端的に質問の条件に答えると。

f(x1)*g(x2) ≠ f(x2)g(x1)
が成り立つような、相異なるx1とx2が（ただ一組でも）存在すれば
a*f(x)+b*g(x)=0 なら a=b=0
が成り立ちます。

証明は、a,bに関する連立一次方程式
a*f(x1)+b*g(x1)=0
a*f(x2)+b*g(x2)=0
は、行列式がゼロでなければ a=b=0 以外の解を持たない、という線形代数の基本的な定理を使えばよいです。

お礼

分かりました！ありがとうございます！f,gが独立であればいいんですね．

回答No.4

statecollege

回答３の訂正。回答２を訂正したとき、訂正のし忘れがありました！以下のように訂正してください。

回答２の訂正です。とくに、背理法は必要ありません。つぎのように訂正します。

命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて

ax/cosx + bx^2sinx = 0

が成り立つとする。このとき、a=b=0である」

を証明する。いま、x＝Πとおこう。すると、 上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ＝０より

-aΠ = 0

よって、a=０でなければならない。

つぎに、a=0が示されたので、a=0とおいた上の式の左辺で、x=Π/2とおくと、sinΠ/2＝１より

b(Π^2/4)=0

となる。よって、b=0となる。したがって、上の式がｘ＝Π/2＋nΠを除くすべてのｘについて成り立つなら、a = b = 0でなければならない。

お礼

回答ありがとうございます！参考にさせて頂きます．
関数が多くなると背理法の方が楽かもしれませんね！

回答No.3

statecollege

回答２の訂正です。とくに、背理法は必要ありません。つぎのように訂正します。

命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて

ax/cosx + bx^2sinx = 0

が成り立つとする。このとき、a=b=0である」

を証明する。いま、a≠0としよう。すると、x＝Πとおくと

上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ＝０より

-aΠ = 0

よって、a=０でなければならない。

つぎに、a=0が示されたので、a=0とおいた上の式の左辺で、x=Π/2とおくと、sinΠ/2＝１より

b(Π^2)=0

となる。よって、b=0となる。したがって、上の式がｘ＝Π/2＋nΠを除くすべてのｘについて成り立つなら、a = b = 0でなければならない。

回答No.2

statecollege

命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて

ax/cosx + bx^2sinx = 0

が成り立つとする。このとき、a=b=0である」

を証明する。背理法を用いる。いま、a≠0としよう。すると、x＝Πとおくと

上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ＝０より

-aΠ = 0

よって、a＝０、矛盾（なぜ？）。よって、a=０でなければならない。

つぎに、a=0かつb≠０としよう。すると、上の式の左辺は、x=Π/2とおくと、sinΠ/2＝１より

b(Π^2)=0

よって、b=0となり、矛盾。したがって、上の式がｘ＝Π/2＋nΠを除くすべてのｘについて成り立つなら、a = b = 0である。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

a*x/cosx は　 x = nπ+π/2(nは整数) で未定義だからアウト。

お礼

回答ありがとうございます！
と言われると思ったので，一応質問に
(xの範囲指定が必要ですが、それは無視していただいても構いません)、
と書いておきました．