定積分を利用した極限値

質問

lim n→∞ 1/nΣk=0 n-1 (2^(k/n))
の解き方がわかりません。

答えは1/log2になるらしいのですが1になってしまいます。
どなたか教えてください。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

どうも区分求積法の式をきちんと理解できていないような感じですね。
まずは、教科書をよく見直してみてください。
最初は「まね」するところから始めてもいいと思いますよ。

区分求積法のΣと∫を結び付けるイメージの仕方を以下に。
（個人的なイメージなので、微妙なところもありますが。）

★積分を面積で考えてみると、「細切り」にしたものを「足し合わせている」ことになりますね。
「細切り」の縦の長さは f(x)であり、横（幅）は dxと表します。
S＝ ∫[a→b] f(x) dx

★同じ面積を今度は「足し合わせる」ことで表してみます。
0≦ x≦ 1の区間で足し合わせるとします。
・区間を n等分します。すると、1つの幅は 1/nになります。⇒ dxに対応
・n等分した k番目は x＝ k/nとなるので、そのときの y座標は f(k/n)になります。⇒ f(x)に対応
・幅を非常に狭くする（等分する数を多くする）ことで、積分と同じになります。⇒ lim[n→∞]に対応
・和の範囲（積分区間に対応するところ）については、2とおりの表し方があります。

回答No.4

info22_

教科書の積分法の最初に区分求積法の公式を習っているはずです。
この問題の式は左端型の区分求積法の公式
参考URL
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html
をご覧下さい。

公式のf(x)は問題の場合は　f(x)=2^x
になるので
lim(n→∞) (1/n)Σ(k=0～n-1) (2^(k/n))
=∫[0→1] 2^x dx
=∫[0→1] e^{xlog(2)} dx
=[e^{xlog(2)}/log(2)] [x:0→1]
=[(2^x)/log(2)] [x:0→1]
=2/log(2) -1/log(2)
=1/log(2)
（ただし、logは自然対数）

回答No.3

R_Earl

f(x)をx = aからbまで定積分する事を
∫[a → b] f(x) dxと書く事にします。

色々な所で少しずつ間違えているようです。
まず区分求積法を使う所で間違っています。

lim n→∞ 1/nΣk=0 n-1 (2^(k/n))
= ∫[0→1] (2^x)dx

となります。

次に2^xの不定積分ですが、これも間違えています。
指数関数e^xを微分するとe^xなので、e^xを積分するとe^xです。
e^xは微分しても変わらないので、e^xを積分してもe^xのままという事になります。
でも底がeではない指数関数は、微分しても元の形になりませんよね。
2^xの場合、xで微分すると(log2)(2^x)です。
なので2^xを積分しても2^xにはなりません。(log2)(2^x)を積分すれば2^xになります。
これを元に、2^xを積分するとどうなるかを考えてみてください。

回答No.1

naniwacchi

こんばんは。

どうやって 1になったのでしょうか？
その過程がないと指摘ができないですね・・・。

解き方自体は、区分求積法を用います。

補足

lim 1/n*∫n-1 0 2^(x/n)dx=lim[2^(x/n)]n-1 0
=lim(2^(n-1/n)-1)
=lim(2*2^(-1/n)-1)
=1

みたいな感じで解きました。
見づらくてすいません。