ピストン問題(明治)

質問

図のように、円筒形の容器に２つのピストンがはめられ、鉛直に立てられている。容器内はピストンによってＡ室、Ｂ室に分けられていて、両室はコックの付いた細い管で結ばれている。ピストンは容器内を上下に滑らかに動けるようになっており、また、容器内の任意の位置で固定することもできる。容器の断面積はＳであり、ピストンの質量はいずれもｍである。容器の底近くにはヒーターが取り付けられてあり、Ａ室内の期待を加熱できる。容器やピストンなどの装置は、すべて熱容量の無視できる材料で作られており、また、熱を通さない。気体の質量、管の体積、ヒーターの体積は無視でき、管の口をピストンがふさぐことはない。重力加速度の大きさをｇ、気体定数をＲとする。単原子分子理想気体の定積モル比熱は3R/2である。
　はじめ、コックを閉じ、ピストンが自由に動けるようにして、Ａ室とＢ室のそれぞれに、絶対温度Ｔａの単原子分子理想気体をｎモルずつ閉じ込めた。容器の外側は真空にした。ピストンがつり合いの位置で静止しているときのＡ室の圧力Poは[　c　]であり、Ａ室の体積は[　ア　]である。このとき、Ｂ室の体積はＡ室の[　イ　]倍になっている。
　次に、つり合いの位置で両方のピストンを固定して、ヒーターに電流を流し、Ａ室内の期待に熱量Ｑをゆっくりと加えてからヒーターを切った。その結果、Ａ室内の気体の絶対温度はＴ1、圧力はP１ となった。Ｔ1=To+[　ウ　]であり、P1=Po+[　エ　]である。
　続いて、コックを開いて、全体が一様になるまで十分に待った。この間に、[　オ　]。Ｂ室内の気体の絶対温度は[　カ　]となった。また、コックを開く直前に比べて、コックを開いた後のＡ室の圧力の変化がΔPaであり、Ｂ室の圧力の変化がΔＰｂであるとすると、ΔＰａ/ΔＰｂ＝[　キ　]である。
　最後に、コックを閉じ、両方のピストンの固定を解除して、新たなつり合いの高さまでゆっくりと移動させた。その結果、下側のピストンは固定を解除する前と同じ位置で、上側のピストンは固定を解除する前よりも高い位置で静止した。この時の気体の内部エネルギーは、この操作を行う前と比べて[　ク　]。また、ヒーターで加えた熱量Ｑは[　ケ　]に等しいことが分かる。

　それで、以上の答えが、
c：(Po=)2mg/S, ア：nRTo/Po, イ：2, ウ：2Q/3nR, エ：2QPo/3nRTo, オ：Ａ室からＢ室へ、n/3モルの気体が移動した, カ：(To+T1)/2, キ：-1/2 ク：Ａ室内では変わらず、Ｂ室内では減少している, ケ：3nRTo/2

　とのことです。設問イと、オ～ケについて根拠がわかりません。解説よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831

>最後のＱについて、なぜ気体が2nモルなのでしょうか。

コックを開けて一様になるまで待った操作において，Ｑによって増加したＡ内の内部エネルギーは，Ａ，Ｂ全体に拡散しました。Ｂの方は最終的に外部に仕事をしてしまったので，その仕事量を与えられない限り，増加した内部エネルギーを知ることができませんが，Ａの方はたまたま上部のピストンの位置が変わらず，仕事（および熱）の出入りがなかったので，状態方程式によって初期状態と比べることで温度がわかり，温度上昇分で内部エネルギーの増加分が判明しました。同じ割合でＢにもその増加分が拡散していたはずだと考えるのです。

回答No.1

yokkun831

設問イ
Pa = P0 = 2mg/S，Pb = mg/S = P0/2
V = Va = nRT0/P0
Vb = nRT0/Pb
∴Vb/Va = P0/Pb = 2

したがって，コックを開いて一様になった後のA，B内の気体の物質量na，nbについて
nb/na = Vb/Va = 2
na + nb = 2n
∴na = 2n/3，nb = 4n/3　→オ

エネルギー保存により
3/2・nRT0 + 3/2・nRT1 = 3/2・2nRT
∴T = (T0 + T1)/2　→カ

コックを開く前について
Pa'V = nRT1
Pb'2V = nRT0
コックを開いた後について
P・3V = 2nRT
∴P = nR/V・(T0+T1)/3
したがって
ΔPa = P - Pa' = nR/V・(T0-2T1)/3
ΔPb = P - Pb' = nR/V・(2T1-T0)/6
∴ΔPb/ΔPa（？？？） = -1/2 →キ

熱力学第１法則により
ΔUa = Qa + Wa = 0（∵Qa=Wa=0）
ΔUb = Qb + Wb < 0　（∵Qb=0，Wb<0）→ク

Aの最終状態
P0V = 2n/3・RT
∴T = 3/2・T0
∴Q = 3/2・2nR(T-T0) = 3/2・nRT0 →ケ

となると思います。

お礼

大変わかりやすく説明していただきありがとうございます。
申し訳ないのですが、最後のＱについて、なぜ気体が2nモルなのでしょうか。
理解度が悪く申し訳ありません。