気体の状態 問題

質問

断面積Ｓの２つの容器ＡとＢがピストンに繋がれたばね定数ｋを介して接続されている状態で水平な台の上に固定されてる。はじめ両容器中の気体の温度はＴ、容器Ａ、Ｂの体積はＶ、２Ｖである。ばねは自然長。容器およびピストンは断熱材。
大気圧Ｐ0
Bのピストンを固定して始めの状態から容器Ａおよび容器Ｂ内の気体をゆっくり加熱したところ、容器Ａのピストンは右方向に移動し、容器Ａ内の気体の体積は５Ｖ/４に、気体の温度は３Ｔ/２になった
この過程で容器Ａ内の気体がした仕事を求める問題なのですが
容器およびピストンは断熱材だからＱ＝０
で熱力学の法則からΔＵ＝Ｗ　でΔＵ＝３/2・ｎＲＴで
またＡの初期状態の状態方程式はＰ0Ｖ＝ｎＲＴより
ΔＵ＝３/2・Ｐ0Ｖ＝Ｗとやってはいけないのでしょうか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞容器およびピストンは断熱材だからＱ＝０
だと、容器内の気体は「加熱」もされないことになりますね。
そうすると、書かれている事象すらも起きないことになります。

こう考えると、問題の設定が少しおかしいようにも見えてきますね。
「断熱材」といわれているのは、
「加熱された熱量にロス（大気中へ逃げていくなど）はない」という意味で書かれていると思います。

求める仕事は、「大気への仕事」と「ばねへの仕事」の和になりますね。

回答No.2

jamf0421

AについてΔU=Wは間違いで、Aは暖められています。Wは外向きに数えることが多いと思いますのでΔU=Q-Wです。ΔU=(3/2)nRTも間違いで、強いていえば単原子の理想気体についての内部エネルギーがU=(3/2)nRTになるだけです。この気体の温度が変化すれば（どういう経過の結果であっても）ΔU=(3/2)nRΔTになります。以上のことより
「Ａの初期状態の状態方程式はPoV=nRTよりΔU=(3/2)PoV＝Wとやってはいけないのでしょうか？」
いけません。強いていえばΔU=(3/2)nRΔT=(3/2)Δ(PV）がUの変化量というだけです。
ここでBの容器は暖められただけで何の役割も果たしていないように見えるので、正確な題意を理解しているか自信ありませんが、No1さんが言われるようにガスがした仕事は大気圧に対抗する仕事とバネへの仕事の和です。
バネがピストンを押す力がバネが縮むほど強いので非等圧膨張的になります。ガスの膨張に抵抗する力は、ピストンの断面積をSとしてPoS+kXです。ここでXはばねの縮んだ長さです。また、Lをバネの縮み量の終点としますと
W=∫{(PoS)dX+kXdX}=PoS∫dx+k∫XdX=PoSL+(k/2)L^2...(1)
となります。ここでSL=(5/4)V-V=V/4です。よって
W=PoV/4+(k/2)L^2...(2)
となります。このままではバネの縮んだ長さLがないとWが出せないように思います。
温度上昇が書いてあるので、これで例えば単原子気体などの内部エネルギー変化量などは出せます。しかし投入熱量がわからないので、こちらからもバネと大気への仕事は出せません。困りますね。