積分：弧の長さを求める問題。

質問

y=x^1/3 の(-8,-2)から(8,2)までの弧の長さを求める問題において、xに関して積分できないのはなぜですか？
この問題はx=y^3に変形して、yに関して積分して回答してあります。ちなみに、
∫√(1+f'^2)dxの公式を使って解く問題です。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

まず，式が違っています．
y=x^(1/3) なら dy/dx = (1/3)x^(-2/3) ですから，
曲線長の公式に代入すると
(1)　　∫√{1+(1/9)x^(-4/3)}dx
です．x のべきに注意．
形式的にはこうですが，x<0 はこのまままではちょっとまずい(後述)．

数値積分の基本は，もともとの積分の定義の
「細かく分けて，関数値×幅，の和を取る」
です．
実際のルーチン(台形公式，シンプソン，，ガウス，．．．)はもっと精度が出るように
工夫されていますが，基本は上のようなことです．

> ∫√(1+(1/9)x^(4/3))dx,　-8,8（左の-8,8は積分区間）として、
> 関数電卓に入力しましたが、エラーがでました
負の数の 4/3 乗は複素数になってしまいます．
そこでエラーなのでしょう．
-4/3 乗と直しておいても同じことです．

> ∫√(1+(1/9)x^(4/3)),　0,8
なら問題ありませんが，上で書いたように式自体が違っています．
この積分は 10.4972 で，２倍すると補足の答(20.99...)になります．

(1)の修正版なら
(2)　　∫√(1+(1/9)x^(-4/3)),　0,8
ですが，これは積分ルーチンによってはエラーが出ます．
x^(-4/3) に x=0 を代入すると無限大になってしまうからです．
関数値は発散しても，積分値はちゃんと存在します．
うまく処理するルーチンもありまして，それでやれば 8.63033 で，
２倍すると補足で y を使った結果と一致します．

> グラフの形に問題があると思うのですが
x^(-4/3) に x=0 を代入すると無限大というのは，
原点での傾きが発散していることを意味しています．
これが今の困難のグラフ的な意味です．
y を独立変数と見ると，傾きはゼロですから問題はありません．

察するに，以上のような注意を体得してもらいたいための例題なのでしょう．

No.1 回答へのコメント：
x で表現しても y で表現しても，この積分は初等関数では表されません．
つまり，ふつうに言う「積分できた」にはなりません．

No.2 回答へのコメント：
y で表現しても √(1 + a y^4) の形の積分ですから，
三角関数を用いても積分はできません．
y^4 でなくて y^2 の形なら積分できますが．

回答No.3

siegmund

x=y^3 としても，
∫√(1+9y^4) dy
を計算しなければならず，これは楕円積分です．
いわゆる「積分できた」という形にはなりませんが．

回答No.2

hiroshi0405

ｘ＝ｙ＾３の形であれば、三角関数を使った置換積分ができるからということでしょうか。ｘに関して積分できないというのは、結局、原始関数が求められないということになるかと思います。
要は、∫√(1+f'^2)dxのような形の積分はほとんどの関数で不定積分が不可能な訳で、たまたまできるもの、変換すればなんとかなるものが問題として出題されるということでしょう。

回答No.1

karuu

xに関しても積分できます。
自分で計算してから質問しましょう。

補足

質問で書き忘れた点が多くて申し訳ありません。補足します。
まず、この問題は関数電卓を用いて解く問題です。問題は「y=x^1/3の(-8,-2)から(8,2)までの弧の長さを次の２通りの方法で解け」、というものです。(1)xに関して積分して解け(2)yに関して。
私はまず、(1)を∫√(1+(1/9)x^(4/3))dx,-8,8（左の-8,8は積分区間）として、関数電卓に入力しましたが、エラーがでました。
だから、次に 2*∫√(1+(1/9)x^(4/3))0,8（グラフは原点対称で弧の長さを求める計算としては積分区間を半分にしてそれを単純に２倍すればよいと考えました。） として計算すると20,99446と答えが返ってきました。
(2)に関しては、∫√(1+9y^4)dy,-2,2として関数電卓で計算してやると、17,2606584という答えが返ってきました。そして、これがこの問題の解答です。
回答によると(1)の積分計算は機能しないと書かれてあります。グラフの形に問題があると思うのですが、はっきりとなぜ機能しないのかその理由がつかめません。どなたかその理由を教えてください。