四次式の接線

質問

四次関数f(x)と一次関数g(x)が相異なる二点で接するとき
二接点のx座標をa,b(a<b)とすると
f(x)-g(x)=(x-a)^2*(x-b)^2であるから…
と解説にあるのですが、両方とも二乗でないといけませんか？
(x-a)(x-b)^3としてはいけないのでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> 四次関数f(x)
4次の係数をk(≠0)とすると、kは一般に1とは限らない。
したがって
> f(x)-g(x)=(x-a)^2*(x-b)^2　であるから…
ではなく

　f(x)-g(x)=k(x-a)^2*(x-b)^2 …（☆）

としないといけないですね。

> 両方とも二乗でないといけませんか？
x=aで接するということは　f(x)-g(x)=0が重解x=aを持つ、つまり左辺が(x-a)^2という因数を持つということです。
かつ、x=b(>a)でも接するということは　f(x)-g(x)=0が重解x=b(>a)をも持つ、つまり左辺が(x-b)^2 (b>a)という因数も持つということです。

すなわち、四次関数である「f(x)-g(x)」は　因数(x-a^2*(x-b)^2 を因数に持つ。
つまり　四次関数である「f(x)-g(x)」は　四次式の(x-a)^2*(x-b)^2　で割り切れ、最高次の四次の係数k（≠0）が割った時の商になるので（☆）の式のようになるわけです。

したがって
>(x-a)(x-b)^3としてはいけないのでしょうか？

では駄目ですね。

こうするとx=aで重解を持たない。つまり、f(x)とg(x)はx=aで接しないで交点をもつ（交わる）ことになってしまいます。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞(x-a)(x-b)^3としてはいけないのでしょうか？
としてしまうと、x＝ aでは接しなく（交点に）なります。

4次関数の問題ということなので、微分を習っているのだと思います。

2つの整式で表される関数：y＝f(x)と y＝g(x)（一つは 2次以上）が接するとき、
その接点：x＝αは f(x)- g(x)＝ 0の重解として与えられる。
ということが微分を用いることで導かれます。

以下の条件を組み合わせて、導くことができます。
・y座標が一致する：f(α)＝ g(α)
・微分係数も一致する：f '(α)＝ g '(α)
（それぞれの条件について、因数定理を用いる）

お礼

>2つの整式で表される関数：y＝f(x)と y＝g(x)（一つは 2次以上）が接するとき、
その接点：x＝αは f(x)- g(x)＝ 0の重解として与えられる。

なるほどです。ありがとうございました。