数列の問題で質問です

質問

初項が２、公比が正である等比数列ａｎの第３項は１８である。また、等差数列ｂｎの第３項は－１９で、初項から第８項までの和は－１１６である。

　（１）数列ａｎの公比を求め、ａｎをｎを用いて表せ。

　（２）ｂｎをｎを用いて表せ。また、ｂｎ＜０を満たす最大の自然数ｎの値を求めよ。

　（３）不等式Σ（ｋ＝１からｎ）　　　ａｋ　＞　Σ（ｋ＝１から２０）　　　｜ｂｋ｜　　を満たす最小の自然数nの値を求めよ。

　いつもお世話になっております。（１）は自力で解いて公比＝３、ａｎ＝２×３＾n－１となりましたが、ここから先が分かりません。その上に（１）にも自信がありません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
初項が2、公比がrである等比数列の一般項は
a[n] = 2r^(n-1)と書ける。
a[3] = 2r^2 = 18
r^2 = 9
r > 0より、r = 3
∴公比=3, a[n] = 2・3^(n-1)

(2)
等差数列の初項をb, 公差をdとする。
このとき、一般項b[n] = b + d(n - 1)と書ける。
b[3] = b + 2d = -19 …… (1)
S[8] = 8(2b + 7d)/2 = -116 …… (2)
(2)より、2b + 7d = -29 …… (3)
(3)-(1)×2より、3d = 9, d = 3
(1)に代入して、b = -25
∴b[n] = -25 + 3(n - 1) = 3n - 28
3n - 28 < 0
3n < 28, n < 9.333 ...
nは自然数であるから、n = 9
∴b[n] < 0を満たす最大の自然数nは9

(3)
Σ(k=1,n)a[k]
= 2(3^n - 1) / 2
= 3^n - 1
Σ(k=1,20)| b[k] |
= Σ(k=1,20)| 3n - 28 |
= Σ(k=1,9)(28 - 3n) + Σ(k=10,20)(3n - 28)
= 28・9 - 3・9・10/2 + 3・20・21/2 - 3・9・10/2 - 28・11
= 252 - 135 + 630 - 135 - 308
= 304
よって、3^n > 305
3^5 = 243, 3^6 = 729であるから、
3^n > 305を満たす最小の自然数nは6

お礼

先日も今回もありがとうございます＾＾とても分かりやすくて一気に謎が解けました＾＾