線積分の問題

質問

円周ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２に沿って、正の向きに一回転線積分
∫_ｃ　(ｘ+ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｘ－(ｘ-ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｙ
ｃ=［ｘ^２+ｙ^２＝ａ＾２］
を計算するのですが、
自分は、ｙ1=√(ａ^２-ｘ^２)として、ｄｙ1=-ｘ/√(ａ^2-ｘ^2)，ｙ2=-√(a^2-x^2)として、dy2＝x/√(a^2-x^2)とやり、
与式＝∫_a~-a　(ｘ+ｙ1)/a^2　ｄｘ－（x-y1）/a^2　dy1＋∫_-a~a　(x+y2)/a^2ｄｘ－(x-y2)/a^2　dy2として解いたのですが、答えは-πになります。あっているでしょうか？0になりそうな気もするので、指摘をお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

x=a・cosθ, y=a・sinθ
と置くと, θ=0 to 2π で,
dx=-a・sinθ・dθ, dy=a・cosθ・dθ
より
(与式)=∫_c(-1)dθ=-2π
となりそうな気がしますが,間違っていたら混乱させてすみません.

お礼

ありがとうございます。参考にします。