解と係数の関係

質問

２次方程式 x^2＋３x＋６の解をα、βとするとき、α^4＋３β^3の値を求めよ。(答えは９)

という問題で、x^2＋３x＋６＝(x－α)(x－β)と考えて解いたのですが、上手くできません。どうやって解けばいいんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

（αとβの次数を下げることを考えます。）

α^2 + 3α + 6 = 0
より
α^2 = -3(α + 2)、
α^4 = 9(α + 2)^2。　(1)

β^2 + 3β + 6 = 0
より
β^2 = -3(β + 2)、
3β^3 = -9β(β + 2)。　(2)

(1),(2)より
P = α^4 + 3β^3
　= 9(α + 2)^2 - 9β(β + 2)。　(3)

解と係数の関係
α+β = -3
より　
α = -3 - β。

これを(3)へ代入すると
P = 9(-1 - β)^2 - 9β(β + 2)
　= 9(1 + 2β + β^2 - β^2 - 2β)
　= 9・1
　= 9。

もっとうまい方法があるかもしれません。

お礼

分かりやすく書いていただいて…！非常に助かりました！勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

いずれにしてもこのままでは駄目だから、次数を下げてやる。
その方法にセンスの差が出る、出来るだけ簡単にやりたいものだ。

x＾4　と　x＾3　を　x^2＋3x＋6　で割ってやる。
x＾4＝(x＾2-3x＋3)*(x＾2＋3x＋6)＋9x-18＝9x-18
x＾3＝(x-3)*(x＾2＋3x＋6)＋3x＋18＝3x＋18

よって、Ｐ＝α^4＋３β^3＝9α-18＋9β＋54＝9(α＋β)＋36＝9.　α＋β＝-3　だから。

お礼

なるほど…簡単にできますね。勉強になりました。ありがとうございました！

回答No.3

gohtraw

方程式だから、ｘ＾２＋３ｘ＋６＝０ですよね？
ｘ＾２＝－３ｘ－６なので、ｘ＾４＝（３ｘ＋６）＾２、また、ｘ＾３＝－ｘ（３ｘ＋６）です。
従ってα＾４＝（３α＋６）＾２であり、３β＾３＝－９β＾２－１８β　です。
よって
α＾４＋３β＾３＝９α＾２＋３６α＋３６ー９β＾２－１８β
　　　　　　　＝９（α＋β）（αーβ）＋９（α＋β）＋２７（αーβ）＋３６・・・式（１）
解と係数の関係からα＋β＝－３なので、
式（１）＝－２７（αーβ）＋９（α＋β）＋２７（αーβ）＋３６
　　　　＝９（α＋β）＋３６
　　　　＝－２７＋３６
　　　　＝９
となります。

お礼

失礼しました。x^2＋３x＋６＝０です。
困っていたので非常に助かりました！まだまだ勉強不足ですね。頑張ります。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

> x^2＋３x＋６＝(x－α)(x－β)と考えて解いたのですが、上手くできません。

具体的にはどのように解いたのですか？補足にどうぞ。

補足

ax^2＋bx＋c＝a(x－α)(x－β)の両辺にx＝pを代入すると、(α－p)(β－p)の値が求められる。
というのを使って解くと思ったのですが…できなかったので困っていました。