解と係数の関係

質問

次の2次方程式の2つの解の間に[ ]内の関係があるとき、
定数aの値、および2つの解を求めよ。

1.x^2-(a+1)x+2=0 [2つの解の差が1]

2.x^2-6x+a=0 [1つの解が他の解の平方]

3.x^2+(a+1)x-a=0 [2つの解の比が2:3]

これらはどうやって解いたらいいですか？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

１、二つの解の差が１なのだから、二つの解はｔおよびｔ＋１とあらわされ、解と係数の関係から
ｔ（ｔ＋１）＝２
ｔ＾２＋ｔ－２＝０
（ｔ－１）（ｔ＋２）＝０
ｔ＝１、－２　なので元の方程式の解は１，２　またはー１、－２
従って元の方程式は（ｘ－１）（ｘ－２）－０　または（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０
係数を比較するとａ＋１＝３　またはー３なのでａ＝２またはー４

２、一つの解が他の解の平方なので二つの解はｓおよびｓ＾２と表され、解と係数の関係から
ｓ＾２＋ｓ＝６
ｓ＾２＋ｓ－６＝０
（ｓ－２）（ｓ＋３）＝０
ｓ＝２、－３
よってもう一つの解は４、９
従ってａ＝８またはー２７

３．二つの解の比が２：３なのでこれらを２ｕ、３ｕとおくと
６ｕ＾２＝－ａ
－５ｕ＝ａ＋１
この二式より
６ｕ＾２＝５ｕ＋１
６ｕ＾２－５ｕー１＝０
（６ｕ＋１）（ｕー１）＝０
ｕ＝１、－１／６
よって二つの解は２，３または－１／３、－１／２
ａ＝－５ｕー１なので　ａの値は－６　または－１／６

お礼

ありがとうございます＾＾
わかりやすかったです＞＜

回答No.2

Willyt

これは二次方程式の根と係数の関係式を使えば簡単に解ける問題ばかりです。ax^2+bx+c=0 解をα、βとすると、

α＋β＝-b/a
αβ＝c/a　　　（ここでの a　は問題の　a とは別ですから間違えないように）

というものです。３つの問題はαとβの関係を一つ与えており、未知数はα、βおよび問題に含まれる a の三つで、方程式は上記の２つと与えられるものとで合計３つできますからそれを連立させれば解くことができます。

お礼

ありがとうございます＾＾