解と係数の関係を使うの？

質問

係数や定数項にkが入ったxの二次方程式がふたつあって、
このふたつの方程式が共通の解を持つようなkの値を求めよ、っていう問題なんですが
片方の方程式の解をα、βとおき、もう片方の二解をα、γとおいて文字四つで式４つ作ったけど、
４元の連立、解くのがやたら面倒くさかったです。
だいたい、いまどきの数Iでは解と係数の関係って習うんでしたっけ？

もっと他にスマートというか、定番の解き方があったら教えてください。

回答No.1

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

問題を拝見していませんので、はっきりとしたことはいえませんが、定番の解答は質問者さんの解法であると思います。

考えられる解法としては、2つの2次方程式が実は巧妙に因数分解できるとか。。。そうすると、それぞれの方程式の解が分かるわけですから、あとはその解たちを比較すればいいのかな。

お礼

やっぱ定番ですか…つか、それしか思いつけなかったんですが；

＞因数分解できるとか。。。
一瞬「おおっ！」と感動しましたが、残念ながらできそうじゃない問題でした。
でも一瞬の感動をありがとうございました！

回答No.3

masuda_takao

こんな感じの状況でしょうか？

　２つの２次方程式：
a_1(k)x^2 + b_1(k)x + c_1(k) ＝ 0 ...[1]
a_2(k)x^2 + b_2(k)x + c_2(k) ＝ 0 ...[2]
...があり、[1] の２解をα、β、[2] の２解をα、γとすると、
α + β ＝ -b_1(k)/a_1(k)、αβ ＝ c_1(k)/a_1(k) ...[3]
α + γ ＝ -b_2(k)/a_2(k)、αγ ＝ c_2(k)/a_2(k) ...[4]
...が成り立つ。これをα、β、γ、k の連立方程式と見て解く。

　まぁ、素直な方針であり、これで必ず解けるはずです。
　a_1(k) と a_2(k) が０にならないことに注意する必要はありますが、適切な場合分けで処理できるでしょう。

　No. 2 さんの仰る考え方は、上記で [1] - [2] を作ると、
{b_1(k) - b_2(k)}x + {c_1(k) - c_2(k)} ＝ 0　...[5]
...であり、これを満たす x の値が上記のある実数αであるというものですね。[5] はあくまである実数 x について成り立つ式であり、すなわち方程式なので、恒等式の考え方を適用することは残念ながら出来ません。
　少なからぬ問題において、[5] のような式は k の２次方程式だったり、k に関しても x に関しても１次できれいに因数分解できたりなどする場合が多いので、あとは [5] の式の形を見て考えるということになるでしょう。

　No. 1 さんの仰るように、実はおのおのの方程式の左辺が因数分解できる場合には、だいぶ扱いやすくなりますけれど（高々２通りの場合分けですむはず）。

　習うから習わないからというケチくさい事ｗは言わずに、公式の導出もさほど困難ではないのだし、使える道具は（必要なら証明して）使うようにしたいものです。

お礼

力強いご回答、ありがとうございます。
習うから習わないからどうこうというか、
暇な休日だったのでパズル代わりに昔の数学の問題集を解いてただけなのですが、（解答集は紛失；）
そーいえば解と公式の関係って最近の高校の教科書にも載ってたんだっけ？？と気になってしまって。
もう休日は終わったのでどっちでもいいです（笑

回答No.2

barao

あまり自信ないですが…

2つの方程式をそれぞれ(1)、(2)とし、共通の解をαとします。
このとき、それぞれの方程式にx=αを代入してから(1)－(2)を作って、
それがαの恒等式になるようにkを求めるのってだめでしたっけ？

問題がわからないので確認できませんが、受験勉強をしてた頃
そんな解き方をした記憶があります。

お礼

問題も載せずにすいません。
試しに(1)－(2)でやってみたけど、なんかうまくできませんでした。
でもいろんな切り口があるんだなーと思いました。
ご回答、ありがとうございます。