解と係数の関係の問題です。

質問

２次方程式Ｘ-2＋Ｘ＋１＝０の二つの解をα、βとするとき、α-2,β-2もこの方程式の解であることを示せ。

α＋β＝－１
αβ＝１
をもとにすると答えは出るんですが、示し方がわかりません。
わかりやすく教えていただけないでしょうか？
明日、この問題を当てられるのでお願いします！！

回答No.7

good777 · ベストアンサー

****■問題■******************************************************************
２次方程式Ｘ^2＋Ｘ＋１＝０の二つの解をα、βとするとき、α^2,β^2もこの
方程式の解であることを示せ。
*******************************************************************************
☆解☆
係数の関係より、
α＋β＝－１
αβ＝１

α^2＋α＋１＝０
であるから、
α^2
＝-α-１
＝β

β^2＋β＋１＝０
であるから、
β^2
＝-β-１
＝α

よって、
２次方程式Ｘ^2＋Ｘ＋１＝０の二つの解をα、βとするとき、α^2（＝β）,β^2（＝α）もこの
方程式の解である。　　　　　　　　　　　　　　（Q.D.E）
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お礼

回答してくださったみなさま
お礼がおそくなってしまいましたがみなさま回答してくださってありがとうございました。

回答No.6

fushigichan

yue7さん、こんばんは。

******************解と係数の関係********************************

方程式 ax^2+bx+c=0
の二つの解を、α、βとすると、

α＋β＝-b/a
αβ＝c/a

*****************************************************************

さて、いま方程式x^2+x+1=0
の二つの実数解を、αとβとおくと、解と係数の関係から

α＋β＝－１　・・・・・・・（☆）
αβ＝１　　　・・・・・・・（☆☆）
となることがいえますね。

ここで、α^2,β^2も解であることを証明するには、
α^2と、β^2の解と係数の関係が（☆）（☆☆）を満たすことを言えばよいですね。

α^2+β^2=(α＋β)^2-2*αβ
=(-1)^2-2
=-1 ・・・・・（☆）と同じ
α^2*β^2=(αβ)^2=1^2=1　・・・・（☆☆）と同じ

となり、同じ解と係数の関係を満たすことがいえます。

よって、αの２乗と、βの２乗は、ともに方程式x^2+x+1=0
の解であることが、証明されました。

ご参考になれば幸いです。がんばってください！！

回答No.5

eatern27

#4です。すいません、訂正です。
(解法1)の5行目。
＞⇔x^2-(α^2+β^2)x＋α^2+β^2=0
とありますが、
⇔x^2-(α^2+β^2)x＋α^2β^2=0
です。

回答No.4

eatern27

x^2+x+1=0
の解がα、βである時に
α^2,β^2も解である事を示す。
という問題ですね?

(x^2はxの2乗という意味です)

(解法1)
αβ＝１ であるから、α^2β^2＝１
α^2+β^2=(α+β）^2-2αβ=(-1)^2-2=-1
よって、α^2、β^2を解とするxの２次方程式は
(x-α^2)(x-β^2)=0
⇔x^2-(α^2+β^2)x＋α^2+β^2=0
⇔x^2+x+1=0
よって、α^2,β^2も解となる。

(解法2)
x^2+x+1=0
の解がαなので、
α^2+α+1=0
⇔(α-1)(α^2+α+1)=0
⇔α^3=1
よって
α^2+α*1+1=0
⇔α^2+α*α^3+1=0
⇔(α^2)^2+α^2+1=0
よって、α^2はx^2+x+1=0の解である。
β^2も同様にx^2+x+1=0の解である。

回答No.3

Aquoibonist

２つの解を実際に求めてみて、一方をα、他方をβとおいて、
実際にα＾2、β＾２を計算して、示されている方程式の解であることを示す
という手段がひとつありますよね。
次に、複素数の知識があるなら、２次方程式Ｘ＾2＋Ｘ＋１＝０の両辺に(ｘ－１)を
かけると、ｘ＾３-１＝0になることより、α、βはｘ＾３＝１のｘ＝１以外の
２解(複素共役解)であることがわかるので、
α＝cos120°+i*sin120°、β＝cos240°+i*sin240°とおいて、
α＾2、β＾２を計算して、示されている方程式の解であることを示す。
他の方法としては、α、βはＸ＾2＋Ｘ＋１＝０の解だから当然
α＾2＋α＋１＝０、β＾2＋β＋１＝０を満たす。これを用いる方法。
以下、α＾2がＸ＾2＋Ｘ＋１＝０の解であることを示す。
α＾4＋α＾2＋１＝０を示せばよいが、α＾2＋α＋１＝０より、
α＾4＝－(α＾3+α＾2)
ここで、α＾3＝－(α＾2＋α)、α＾2＝－(α＋１)を使えば
(上の関係はすべてα＾2＋α＋１＝０の両辺にαの何乗かをかけることにより得られる)
α＾4＝－(α＾3+α＾2)
　　 ＝(α＾2＋α)+(α＋１)
　　 ＝α
すなわちα＾4＋α＾2＋１＝α＾2＋α＋１となるが、これは＝0
よって題意は示せた。
βについても同様で、上の証明のαをβにすればよいだけ。

回答No.2

kiachi2002

この、問題もう少しわかりやすく、説明してくれないかな？？黒いたてぼうみたいのも、よくわからないし・・

回答No.1

ranx

Ｘ-2はＸの２乗ですよね。その前提で、
しかし、問題何か違っていませんか？
α－２、β－２はいずれも方程式の解には
ならないと思いますが。

お礼

すみません。また間違えました。
上２行は気にしないでください。
二乗という意味です。

補足

すみません！！問題間違ってます・・。
α－１、β－１です。
あと、－は＾(二乗)です。
間違えてました、すみません。