弾性係数テンソル内の独立成分

質問

Hookeの法則を勉強しなおしているのですが、わからない点が二点あるので、教えてください。

Hookeの法則の定義どおり、応力が歪みに比例するとすると、
(応力テンソル　9成分)=(弾性係数テンソル 81成分) (歪みテンソル 9成分)
と書けるかと思います。

これらの成分の中で弾性係数テンソルは、応力と歪みの対称性と歪みエネルギー密度関数の存在の仮定から独立な成分が21成分となると参考書に記述があるのですが、この部分が理解できないので、教えてください。

もう一つの質問ですが、応力テンソルは角運動量保存則から独立成分が6成分となるとの記述があるのですが、こちらも理由の部分が理解できません。

これら二点について、よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

以下では、通常下付添字で表すものを、σ(x,x)などと表記します。

(1)歪みテンソル6成分
　弾性体なので、歪みテンソルの1次の項だけ取ると、それは変位場のJacobi行列Ｊに等しくなります。Ｊに歪み速度分解、Ｊ1＝(Ｊ＋Ｊ')/2，Ｊ2＝(Ｊ－Ｊ')/2，Ｊ＝Ｊ1＋Ｊ2をかけます。ここでＪ'はＪの転置です。
　反対称なＪ2の成分を調べると、変形に寄与しない回転成分のみなので、これは捨てます。対称なＪ1の対角成分は伸縮歪み、非対角成分はせん断歪みが成分になっています。Ｊ1は3×3のマトリックスで、しかも対称なので、最大で(3×3－3)/2＋3＝6成分が独立です。

(2)応力テンソル6成分
　角運動量保存則とは、要するに偶力の釣り合いです。応力テンソルは、σ(x,x)，σ(y,y)，σ(z,z)，τ(x,y),τ(y,z),τ(z,x),τ(y,x),τ(z,y),τ(x,z)の9成分ありますが、2次元に投影して偶力の釣り合いをとると、τ(x,y)＝τ(y,x)，τ(y,z)＝τ(z,y),τ(z,x)＝τ(x,z)が得られて、6成分になります。ふつうこの事は、せん断応力の共役性（対称性）と言われると思います。

(3)弾性テンソル21成分
(1)と(2)より、独立な応力－歪み関係は、
(応力テンソル　6成分)=(弾性係数テンソル 36成分) (歪みテンソル 6成分)
となります。ここで、弾性体が等方かつ一様であるとすると、例えばx軸とy軸を入れ換えても弾性テンソルＥは不変でなければならないので、結局Ｅは対称行列だ、という結論になります。従って独立成分は、最大で(6×6－6)/2＋6＝21成分になります。

歪みエネルギー密度関数の存在の仮定とかは、このようなことを、きちんと数学的に定式化したものと思えます（ここはちょっと自信ありません）。

お礼

一人で参考書を見ていたときよりも、ぐっと理解が進んだように感じました。
大変わかりやすい説明をありがとうございました。

(1)と(2)は理解できたのですが、(3)について一つ質問をさせてください。
(重ねての質問ですみません。)

(3)は等方材料に限った話なのでしょうか？
もし、完全な等方材料だとすると、もっと独立な成分は減るように思うのですが(c(ii)=c(jj)など)。
一方で、等方的でもないのに対称テンソルとなるのはおかしいようにも思うのです。。。

よろしかったら、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#221368

(3)は等方材料に限った話なのでしょうか？＞
　#1です。弾性テンソルの公理的（？）扱いは、最後まで実行した事がないので、詳しいことは言えませんが、次のようなことは確かにあると思います。

(1)等方性⇒対称行列という条件は、じつはかなり強い条件で、一般的には非対称であっても21個の独立成分になるのかもしれない。

(2)等方性に限っても、弾性テンソルの決定には、現実の材料挙動に基づく仮定が含まれている。
　例えば、ポアソン比がそうです。もう一つは、伸縮変形モードとせん断変形モードの独立性。例えば、純圧縮状態がせん断変形を伴う事はない（逆も正しい）という観察から、非対角成分のかなりの部分が0になる。

(3)弾性テンソルにも力学的制約条件などがある。
　ご存知と思いますが、等方性体の応力状態の回転不変性から、ポアソン比νを介してヤング率Ｅとせん断弾性係数Ｇが結びつきます。(2)とこの事から、等方性体の弾性テンソルは、Ｅ，Ｇ，νの3個のパラメータで決まり、実質的な自由度は3です。
　異方性体であっても、異なる方向のポアソン比には、一定の制約条件が付いたと思います。

　上記の事情から、少なくとも等方性体の場合は、21個より独立成分は減ります。全く勝手な想像なのですが、これらの事を、エネルギー密度関数の特徴づけに反映させれば、同じ結論が得られるのではないかと想像しました。とりとめない文章で、申し訳ありません。

お礼

重ねての質問にも丁寧に回答していただき、ありがとうございました。
21個になるかはわからないのですが、等方性体でなくても独立成分が81からかなり減ることは納得できました。
自分の見た範囲では、殆どの参考書の記述が等方性体に限らず21個になるような記述ですので、回答で教えていただいた考え方を用いてもう少し考えてみます。
ありがとうございました。