積分についての質問です。

質問

積分についての問題が解けません。どなたか、できれば詳しく教えてください。問題は以下の二問です。

問１　y^2+(z-b)^2=a^2 (0<a<b) が、ｙ軸の周りに回転して生じる立体（円環体）の体積を求めよ。

問２　カージオイド　r=a(1+cosφ)　が、ｙ軸の周りに回転して得られる図形の表面積を求めよ。
ここで（r,φ）は極座標で、｛y=rcosφ,z=rsinφ}　⇒　｛ｒ＝√（y^2+z^2）,φ=arctan(z/y)｝で定義される。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

問１
回転体をカツラ剥きにすると、No.1 のような計算になる。
輪切りにすれば…

体積 = ∫[y = -a から a まで] π{ b + √(a^2 - y^2) }^2 - π{ b - √(a^2 - y^2) }^2 dy
= 2πb ∫[y = -a から a まで] √(a^2 - y^2) dy　　← y = a sinθ で置換する
= 2π(a^2)b ∫[θ = -π から π まで] (cosθ)^2 dθ

ところで、

S1 = ∫[θ = -π から π まで] (cosθ)^2 + (sinθ)^2 dθ
= ∫[θ = -π から π まで] 1 dθ
= 2π

S2 = ∫[θ = -π から π まで] (cosθ)^2 - (sinθ)^2 dθ
= ∫[θ = -π から π まで] cos(2θ) dθ
= [ (1/2)sin(2θ) ][θ = -π から π まで]
= 0

だから

∫[θ = -π から π まで] (cosθ)^2 dθ
= (S1 + S2)/2
= π

よって、

体積 = 2(π^2)(a^2)b

参考URL：

http://www.uitec.ehdo.go.jp/examination/images/pdf/advice8.pdf

回答No.4

info22_

#1,#3です。

問2

>[1]　a>0 です。
>[2]r≦a(1+cosφ)をｙ軸の周りに回転して得られる立体の表面積でいいと思います。

対称性からy≧0の方の回転体の表面積を2倍すればよいから
r=a(1+cosθ),x=rcosθ=acosθ(1+cosθ), y=rsinθ=asinθ(1+cosθ)
dx/dθ=-asinθ(1+2cosθ),dy/dθ=a(cosθ+cos^2θ-sin^2θ)
S=2*2π∫[0,π/2] |x|√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=4π∫∫[0,π/2] (a^2)cosθ(1+cosθ)√{sin^2θ(1+2cosθ)^2+(cosθ+cos(2θ))^2}dθ
=48π(√2)(a^2)/5

回答No.3

info22_

問2について

>カージオイド　r=a(1+cosφ)　が、ｙ軸の周りに回転して得られる図形の表面積

問題が正確に書かれていないので確認です。

[1] a>0ではないか？
[2]「r≦a(1+cosφ)をｙ軸の周りに回転して得られる立体の表面積」ではないのか？
[3] もし「r=a(1+cosφ)をｙ軸の周りに回転して得られる中空立体」なら表面積ではなく2重構造の中空の閉曲面になるが、その曲面面積を求めるのか？

回答願います。

補足

解答遅くなってしまってすみません。
[1]　a>0 です。
[2]r≦a(1+cosφ)をｙ軸の周りに回転して得られる立体の表面積でいいと思います。
[3]「中空立体」ではないと思います。
[2][3]について問題文に記述がなかったので、あまりしっかりとはわかりません。（特に[3]については・・・）　分からないことが多くて申し訳ありません。

回答No.1

info22_

まず問１だけ

>y^2+(z-b)^2=a^2 (0<a<b) が、ｙ軸の周りに回転して生じる立体（円環体）の体積を求めよ。

パップス・ギュルダンの定理
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50586907.html
を用いれば積分しないで
V=2πb*πa^2=2(a^2)bπ^2
と体積が求まります。

積分で求めるなら以下のように結構大変ですが同じ結果が得られます。

V=2π∫[b-a,b+a] 2[{a^2-(z-b)^2}^(1/2)]z dz
=4π∫[b-a,b+a] [{a^2-(z-b)^2}^(1/2)]z dz
z-b=tで置換
=4π∫[-a,a] {(a^2-t^2)^(1/2)}(t+b)dt
=4π∫[-a,a] b(a^2-t^2)^(1/2)dt
=8bπ∫[0,a] (a^2-t^2)^(1/2)dt
t=a sin(u) で置換
=8bπ∫[0,π/2] a^2 cos^2(u)du
=4(a^2)bπ∫[0,π/2] [1+cos(2u)}du
=4(a^2)bπ[u+(1/2)sin(2u)] [u=π/2]
=4(a^2)bπ(π/2)=2(a^2)bπ^2

参考URL：

http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50586907.html