偏微分関数の問題が分かりません！

質問

大学で偏微分の問題が出されたのですが分かりません。教えてください！！

[問]z=f(x,y)はC＾２級で、x=rcosθ,y=rsinθとする。次の問いに答えよ。

・ｘ（∂ｚ/∂x） + ｙ(∂ｚ/∂y)=0の時、ｚはθに依存することを示せ。

・(1/x)*(∂ｚ/∂x) = (1/y)*(∂ｚ/∂y)の時、ｚはｒにのみ依存することを示せ。

・(∂^2ｚ/∂x^2) + (∂^2ｚ/∂y^2) = (1/r)*(∂ｚ/∂r) + (1/r^2)(∂^2ｚ/∂θ^2)　となることを示せ。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

合成関数の微分(多変数関数版)を使って、
∂z/∂θ = - y(∂z/∂x) + x(∂z/∂y)
となることを確認してください。
これは、必ず自分で計算してみること。
その上で…

一問目：
z がθに依存しない…すなわち ∂z/∂θ = 0 であると
仮定すると、それを
x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = 0 との連立一次方程式と見て、
x^2 + y^2 ≠ 0 のとき ∂z/∂x = ∂z/∂y = 0 となり、
z は定数であると解ります。
C^2 級であれば、f は連続ですから、
(x,y) = (0,0) も含めて z は定数です。
ということは、x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = 0 であるとき、
z は、定数でなければ、θに依存します。

二問目：
(1/x)(∂z/∂x) - (1/y)(∂z/∂y) = 0 を通分すれば、
∂z/∂θ = 0 に変形できますね。

三問目：
地味にコツコツ計算してください。
両辺を r と θ の式で表し、比較するとよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！おかげさまで何とか解けそうです！本当にありがとうございました！