２変数関数 合成関数

質問

f(x,y)=x^2+y^2
x=rcosθ、y=rsinθとする
これらの合成関数をz(r,θ)とするとき、∂z/∂r,∂z/∂θを求めよ。

この問題でまずz(r,θ)が何を意味しているかわかりません。
またとき方を教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

直交座標系における関数f(x,y)を
極座標変換 x=rcosθ、y=rsinθ
で変数変換したときの極座標における関数（fの写像）を
z(r,θ)と考えれば良いでしょう。
f(rcosθ,rsinθ)=(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=r^2=z(r,θ)

つまり

z(r,θ)=r^2 (0≦r<∞,0≦θ≦2π)

∂z/∂r=2r
∂z/∂θ=0

お礼

なるほど、わかりました！ありがとうございます。

回答No.2

alice_38

∂z/∂r と z(r,θ) を見比べても判るように、
同じ関数を z と書いたり z(r,θ) と書いたり
する訳です。
質問の x や y も、それと同じようなもの
だと思えばよい。
z(r,θ) = f( x(r,θ), y(r,θ) )
x(r,θ) = r cosθ
y(r,θ) = r sinθ
という意味です。

代入と微分の計算は、容易ですね。

お礼

表し方を変えればわかりました！ありがとうございます。