積分の問題です

質問

∬∫[V]y^2dxdydz V:x^2+2y^2+3z^2<=1 で、
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ とおきましたが、

r^2*sin^2θ*cos^2φ+2*r^2*sin^2θ*sin^2φ+3*r^2*cos^2θ<=1 となったところで、
cos^2θ+sin^2θ=1という変換が簡単に使えないことに気が付き、苦戦しています。
どうすれば良いか教えていただきたいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

最初に被積分関数も、積分領域も平面x=0、平面y=0,平面z=0に対称なので
I=∬∫[V](y^2)dxdydz
V:{(x,y,z)|x^2+2y^2+3z^2≦1}
⇒ V':{(x,y,z)|x^2+2y^2+3z^2≦1,x≧0,y≧0,z≧0}
とすれば
=8∬∫[V'](y^2)dxdydz
となる。
次に
x=rsinθcosφ
(√2)y=rsinθsinφ
(√3)z=rcosθ
とおいて置換積分すると、
x^2+2y^2+3z^2=(rsinθ)^2*{(cosφ)^2+(sinφ)^2}+(rcosφ)^2
=(rsinθ)^2+(rcosφ)^2=r^2≦1
V' ⇒ W:{(r,θ,φ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2}
ヤコビアン|J|=r^2*sinθ/√6
y^2=(1/2)(r^2)(sinθ)^2*(sinφ)^2
なので
I=8∬∫[W](1/2)(r^2)(sinθ)^2*(sinφ)^2*((r^2)sinθ/√6)drdθdφ
=(4/√6)∫[0,1] r^4 dr∫[0,π/2](sinθ)^3 dθ
*∫[0,π/2](sinφ)^2dφ
=(4/√6)(1/5)∫[0,π/2]{1-(cosθ)^2}sinθdθ
*(1/2)∫[0,π/2]{1-cos(2φ)}dφ
=(4/√6)(1/5)∫[0,π/2]{1-(cosθ)^2}(-1)d(cosθ)
*(1/2)∫[0,π/2] 1dφ
=(1/15)√6*(1-(1/3))(π/2)
=(√6)π/45

回答No.4

Water_5

x≧0,y≧0,z≧0}
で、解いて８倍をやるのも良いが。

　　x≧0,y≦0,z≧0}・・・・・（２）
で、解いて４倍をやるのも良いが
cosθ＜０となるので、計算がややこしくなる。
ので、８倍をやる解法がベストのようです。

（２）を腕試しにやってみる事を勧める。

回答No.3

noname#199771

＞#2

OK

回答No.1

noname#199771

x=rsinθcosφ
y=(1/√2)rsinθsinφ
z=(1/√3)rcosθ
とおいてみてください。

補足

出来ました！答えはπ/60です。
合っているでしょうか？