rankに関する証明問題です。

質問

rank XY ≦ rank X

が成り立つことを証明したいのですが、どこから手をつけたらいいかもわかりません。
できるだけ詳しい解答していただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

←No.2
t乗じゃなくて、転置なんだがな。
読めば解ると思ったが…

No.2 は、階数の定義を「一次独立な行の数」
に置くことで、No.1 で先送りにした問題が
最初から発生しないようにしている。
巧妙ではあるが、同様の手法で
rank XY ≦ rank Y のほうを証明しようとすると、
今度は、「一次独立な列の数」を階数の定義と
することになり、両方の定義が同値であることを
示さざるをえなくなる。
まさにその点が、先送りした箇所だという訳。

補足

回答ありがとうございます。

No.1 さんの回答を正しいものと認識してもよろしいのでしょうか？？

回答No.2

waseda2003

rank(X)=r とすると，「行基本変形によりr+1行目以降を０ベクトルにできる」
ということですから，ある正則行列Pを左からかけると
　　　「PX のr+1行目以降は０ベクトル」
になるということです。
行列の積の定義により，左からかける行列は「行」に影響を与えますから，
(PX)Y=P(XY)もr+1行目以降は０ベクトルとなって，
　　　rank(XY)≦r=rank(X)
が成り立ちます。

一般には rank(XY)=rank(X) は不成立で，＃１さんのおっしゃる rank(A^t)=rank(A)
も一般には成り立ちません。例えば
　　　A= (0 1)(0 0)　（Aは２次の正方行列で１行目が(0 1)，２行目が(0 0)）
のとき，rank(A)=1，rank(A^2)=0 となります。

回答No.1

alice_44

http://okwave.jp/qa/q6455940.html　←これの続きかな？
前回、面倒くさい所は端折って、公式として引用したのだけれど、
その部分だね。

階数(rank)の定義には、同値だが体裁の異なるものが幾つかあって、
証明の細部は、どの定義を採用したかによって違ってくる。
ここでは、「小行列式で値が 0 でないものの最大次数」を採用する。

すると、行ベクトルで一次独立なものの個数 = 列ベクトルで一次独立なものの個数 = 階数
であることが証明できる。(この部分、再度先送り)

これを使って、直ちに rank A^t = rank A …[0] が言える。
A^t の行ベクトルで一次独立なものの個数と
A の列ベクトルで一次独立なものの個数は、同じことだから。

また、A が表現する一次変換 x→Ax の値域を Span A と書くと、
列ベクトルで一次独立なものの個数 = 階数 より dim Span A = rank A が言える。
Span XY ⊆ Span X だから、dim Span XY ≦ dim Span X、
すなわち、rank XY ≦ rank X …[1] が言えた。

[0] と [1] を使って、
rank XY = rank (XY)^t = rank (Y^t)(X^t) ≦ rank Y^t = rank Y でもある。