ローラン展開に関して。

質問

「θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

ローラン展開が -2 次以下の項を持つ場合にも、
a(-1) の値を知ることが重要な場面はあります。
それが、あなたが以前に繰り返し質問していた留数としてです。
留数には留数の使い道がありますが、
留数を求めることは近似ではありません。」

以下は3つの質問です。
⑦
>>θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

近似式を作る事と近似値を求める事は違うという事でしょうか？

⑧
>> でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

との事ですが、
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mはどこから出て来たのでしょうか？
出来ればlim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mがどうやって作ったのか導くまでを教えてほしいです。

⑨
また、留数(項の係数)を求める式は
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)だったはずですが、
2022.11.11 18:40の文章を読むと
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mで留数を求めるように書かれている気がします。
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mは何を求めるための式なのでしょうか？

最後に「lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。」

また、お手数ですが、「2022 11.11 09:45に投稿した質問」した質問がどこにあるか、どけにかるかわかりたすか？

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

＞⑦
>>θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

近似式を作る事と近似値を求める事は違うという事でしょうか？

θ = π/2 の近辺では
sinθ/cosθ は ∞ または -∞ に発散しますので「近似値」は存在しません。
ただ、どれくらいの規模で発散していくのか（グラフの上がり方・下がり方の勢いがどのくらいなのか）
を調べよう、ということでしょう。

＞⑧
>> でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

との事ですが、
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mはどこから出て来たのでしょうか？
出来ればlim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mがどうやって作ったのか導くまでを教えてほしいです。

θ→π/2 + 0 のとき sinθ/cosθ→-∞ となります。ここで
「この-∞の勢いは『y = a/(x^m) のグラフ（mは正の定数、aは定数とした反比例系のグラフ）の x→+0 近辺』にたとえると m の値がいくつくらいに相当するのか」
と考えたのでしょう。
y = a / (x^m) のグラフを x軸方向に π/2 平行移動させると
y = a / { (x - π/2)^m }
となるので
sinθ/cosθ の発散する規模が a / { (θ - π/2)^m } に近いとすると…と考えて、この式を作ったのでしょう。さらに、aはmに依存する数なので m の関数とみて a(m) とおいたのでしょう。

最後はどこからの引用なのかわかりません。