統計の問題です。

質問

Ｘが母数μの指数分布に従っているとする。即ち、確率密度関数が
f(x)=μ^-1exp(-x/μ)I[0,∞](x)
であるとき

1)Ｘの分布関数を求めよ
2)Ｘの平均値Ｅ[Ｘ]を求めよ
という問題です。

全くわかんなくて困ってるので、お分かりの方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.1

noname#125931 · ベストアンサー

(1) F(z)=∫[0,z]f(x)dx=-∫[0,z]{exp(x/μ)}'dx=1-exp(-z/μ)。
(2) モーメント母関数M(t)=E(exp(tX))=∫[0,∞)exp(tx-(x/μ))/μdx=1/(1-μt)。
E(X)=M'(0)=μ。

お礼

詳しくありがとうございます。
非常に助かりました!

回答No.2

alice_44

(2)を初等的に：

E[X] = ∫[x=0～∞] x f(x) dx
= ∫[x=0～∞] x (1/μ)exp(-x/μ) dx
= [ x (-1)exp(-x/μ) ][x=0～∞] - ∫[x=0～∞] (-1)exp(-x/μ) dx　←(*)
= (0 - 0) - [ μ exp(-x/μ) ][x=0～∞]
= - (0 - μ)
= μ.

(*) の箇所で、被積分関数を x と (1/μ)exp(-x/μ) の積に分解して
部分積分を行った。

お礼

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