確率・統計の問題です

質問

以下の問題の解答をお願いします。

連続確率変数Xの累積分布関数はFx(x) = P{X≦x}で与えられる。区間[0, 1]で定義された、二つの独立な確率変数X1, X2の累積分布関数Fx1(x), Fx2(x)が図で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

Y=X1+X2とおくと、Yの累積分布関数Fy(y)はX1,X2の結合密度関数f12(x1, x2)を用いて
Fy(y) = ∫[-∞→∞] ∫[-∞→y-x1] f12(x1, x2)dx2dx1
で与えられる。このことを利用してYの確率密度関数fy(y)を求め図示せよ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

X1の密度関数をfx1(x)
X2の密度関数をfx2(x)
とすると
0<x<1/3→Fx1(x)=3x,fx1(x)=3
1/3<x<1→Fx1(x)=1,fx1(x)=0
0<x<2/3→Fx2(x)=0,fx2(x)=0
2/3<x<1→Fx2(x)=3x-2,fx2(x)=3
0<x1<1/3,2/3<x2<1→f12(x1,x2)=fx1(x1)fx2(x2)=9
その他の(x1,x2)に対してf12(x1,x2)=0
0<x1<1/3,2/3<x2<1の時
y=x1+x2とすると
2/3<y<4/3
だから
Fy(y)=9∫_{0→min(1/3,y-2/3)}∫_{2/3→min(y-x1,1)}dx2dx1
2/3≦y≦1の時
y-2/3≦1/3
0≦x1
y-x1≦y≦1
だから
Fy(y)
=9∫_{0→y-2/3}∫_{2/3→y-x1}dx2dx1
=9∫_{0→y-2/3}(y-2/3-x1)dx1
=9[x1(y-2/3-x1/2)]_{0→y-2/3}
=9(y-2/3)^2/2
だから
fy(y)=3(3y-2)=9y-6

1<y≦4/3の時
0<y-1≦1/3
x1≦y-1の時1≦y-x1
y-1≦x1の時y-x1≦1
だから
Fy(y)
=9∫_{0→y-1)}∫_{2/3→1}dx2dx1+9∫_{y-1→1/3}∫_{2/3→y-x1}dx2dx1
=3∫_{0→y-1)}dx1+9∫_{y-1→1/3}(y-2/3-x1)dx1
=3(y-1)+9[x1(y-2/3-x1/2)]_{y-1→1/3}
=3(y-1)+9[(1/3){y-2/3-(1/3)/2}-(y-1){y-2/3-(y-1)/2}]
=3(y-1)+9[y/3-5/18-(y-1)(y/2-1/6)]
=3(y-1)+9[y/3-5/18-y^2/2+2y/3-1/6)]
=-9y^2/2+12y-7
=1-9(y-4/3)^2/2
だから
fy(y)=3(4-3y)=12-9y

2/3≦y≦1の時
fy(y)=9y-6
1<y≦4/3の時
fy(y)=12-9y

お礼

途中式や図まで用意していただき、大変丁寧な解答ありがとうございます。他の質問も解答してくださり、感謝いたします。また分からない問題があれば質問すると思うので、恐縮ですが時間がありましたら解答していただけると幸いです。