代数学の問題です。 解説と答えを教えてください。

質問

３
x⁴+x²+1を
(1)Z係数
(2)C係数
(3)Z/2係数
で因数分解しなさい。

４
φ_47（x）をGF（２）係数で因数分解すると２つの２３次式の積であらわさられることが知られている。
その一方、f(X）の解１つをαとあらわしたとするとき、もう一方の因数g(X)の解をαを用いて列挙しなさい。
[ヒント：因数はX-α＾iの形であらわされるので、iを決める]

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

３.
まず、複素係数で因数分解してみるといい。
x^4 + x^2 + 1 = 0 は x^2 についての二次方程式だから、
容易に解けて、x^2 = (-1 ± √(-3)) / 2。
これが x^2 = e(±(2/3)πi) であることに気づけば、
x = ±e(±(1/3)πi) であることが解る。
因数定理より、
与式 = (x + e((1/3)πi))(x - e((1/3)πi))(x + e(-(1/3)πi))(x - e(-(1/3)πi))。
これが (2) の答え。

ちょっと技巧的に、x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 としてみると、
与式 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) となる。
実係数でこれ以上分解できないことは、(2) を見れば解る。
これが (1) の答え。

x^4 + x^2 + 1 の値を Z/(2) で計算してみると、
x = 0 のときも x = 1 のときも 1 となる。
Z/(2) においては、x^4 + x^2 + 1 = 0 となる x が存在しないから、
因数定理より、これ以上因数分解できない。
これが (3) の答え。

４.
φ_47(x) の定義を書かなければ、問題が成立しない。
ヒントを読めば、おそらく 47 次の円分多項式のことが言いたい
のだろうと想像はできるが、
問題を書けない人が他人から答えを貰っても意味がない。

お礼

ありがとうございます。
問題のミスで空欄だったようです。