ローラン展開の問題がわかりません

質問

f(z)=-(1/x^2+9) z=3i

この問題は因数分解でf(z)=-1/(z+3)(z-3)としてからマクローリン展開の
1/(1-z)=1+z+z^2+...を使って求めるものなのでしょうか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか？もう少し詳しくお願い致します

ANo.2に
「g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。」
と書いてあるでしょう。

この問題では「マクローリン展開の1/(1-x)を使って導出」する必要性はありません。
無理にそうしても、計算がさらに煩雑になるだけです。

>f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
>上の式にa=3iを代入していくと、
>-1/(2a(z-a))が(i/6)*(1/z-3i)となるみたいですが
>(1/z-3i)はz-aに代入したというのは分かりますが
↑↑↑↑　？？？？

(z-3i) ⇔ (z-a)　です。

>i/6となるにはどうすればいいのでしょうか？

-1/(2a(z-a))=-1/(2×3i(z-3i))=(-1/i)・(1/6)・1/(z-3i)=(i/6)・1/(z-3i)

「-1/i=i」はわかりませんか？

お礼

やっと分かりました、どうやら複雑に考えていたみたいです、お世話になりました！

回答No.2

info22_

>f(z)=-(1/x^2+9), z=3i
これは
「f(z)=-1/(z^2+9) をz=3iのまわりにローラン展開せよ。」
という問題でよろしいでしょうか？

そうであれば
f(z)=-1/((z+3i)(z-3i))
なのでまず
g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...

これを使えばf(z)のz=a=3iのまわりにローラン展開は
　f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
と得られます。ここで　a=3iです。

補足

g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか？もう少し詳しくお願い致します

この問の答えは(i/6)*(1/z-3i)-(1/6^2)-(i/6^3)(z-3i)+(1/6^4)(z-3i)^2+(i/6^5)(z-3i)^3-…となるのですが
info22様が求めた式、f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
上の式にa=3iを代入していくと、-1/(2a(z-a))が(i/6)*(1/z-3i)となるみたいですが(1/z-3i)はz-aに代入したというのは分かりますがi/6となるにはどうすればいいのでしょうか？そのまま計算すると分子にiが出るような計算がよくわからないのですが、、、

回答No.1

178-tall

>f(z)=-(1/x^2+9) z=3i
>この問題は因数分解でf(z)=-1/(z+3)(z-3)としてからマクローリン展開の　1/(1-z)=1+z+z^2+...を使って求めるものなのでしょうか？

z=3i は、-1/(x^2+9) の極ペアの一方ですね。
ペアのもう一方はその共役値 z=-3i 。

つまり、x^2+9 = (z-3i)(z+3i)

このあと、何したいのですか？

補足

この後どうすればローラン展開の求め方がわかりません
最終的には
(i/6)*(1/z-3i)-(1/6^2)-(i/6^3)(z-3i)+(1/6^4)(z-3i)^2+(i/6^5)(z-3i)^3-…となっていくそうです