代数学の問題です。 解説と答えを教えてください。

質問

１
K＝k[X]/(X³+X+1)={0,1,x,x+1,x²,x²+1,x²+x,x²+x+1}
ただし、k=Z/(2)とする。Kの中で[1]～[3]を計算しなさい。

[1]ｘ⁸＝ （ｘの８乗）
[2](x²+1)⁴=
[3]1/x=

2
x^10 -1(ｘの十乗-1)をGF(11)係数の範囲で因数分解しなさい。

お願いします。

回答No.1

alice_44

１．
普通に、x^3 + x + 1 = 0 を使って次数下げする。
高校の数Iでも、こういうのやったでしょう？

x^8 = (x^2)(x^3)^2 = (x^2)(-x-1)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2
= (x^3)x + 0x^3 + x^2 = (-x-1)x + x^2 = -x
= x.

(x^2+1)^4 = (x^4 + 2x^2 + 1)^2
= (x^4 + 0x^2 + 1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1
= x^8 + 0x^4 + 1 = x + 1.　　←上の結果を使った。

1/x = (1 + (x^3+x+1))/x = (x^3 + x + 2)/x
= (x^3 + x + 0)/x = x^2 + 1.

２.
フェルマーの(小)定理より、
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 について
x^10 = 1 (mod 11)。
よって、因数定理により、
与式 = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)。

お礼

ありがとうございました。