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距離の最小値
y=x^2上の動点Aと点Ｂ(0,2)との距離が、最小になるときの の点Ａの座標を求めよ。という問題を解くとき、 点Ａでの接線の傾きと線分ＡＢの傾きが垂直になるときが 線分ＡＢが最小になることを使っていますが、なぜ垂直になるとき が最小といえるのか理由がよくわかりません。よろしくお願いします。 因みに、２点間の距離の最小値を求める方法で解決はしています。
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A の位置を適当なパラメータで表すと AB の距離もそのパラメータで表現できる. んで, 「点A での接線の傾きと線分AB の傾きが垂直になるとき」には「AB の距離を当該パラメータで微分した微係数が 0」ということになる. 円をイメージしてもらうと分かりやすいかもしれない. 厳密に言えば「微係数が 0」というだけなので, それだけで「最小」といえるわけではない. 極小かもしれないし極大かもしれないし, はたまたどちらでもないことも考えられる. 実際, 今の例でも「点A における接線と直線AB が直交してるけど AB間の距離が最小になっていない」ところはある.
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- Tacosan
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そういうことです. 元の問題は「傾き」となっていますが, ここを一般化して「直交する」としてしまうと A が原点付近を動くとき B と原点との距離 2 は極大になることがわかります.
- info22_
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点Bを中心とする円を描いて見ると分かりやすいでしょう。円は中心(0,2)から半径rに等しい距離にある点の軌跡ですから、この円が放物線と共有点を持つとき、共有点と円の中心の距離、つまり半径rが最小になるときは円が放物線に内接する時で、そのときの半径r（AB）,つまり円の中心Bと接点までの距離が最小値になります。接点における接線pは円と放物線の共通接線になります。その共通接線p上の接点Aにおいて、接線pと法線つまり半径r(AB)は直交します。 すなわち、このときの接点Aは円の中心(0,2)から接線pに下ろした垂線BAの足Aでもあります。 したがって接線p⊥ABのときAB=ｒは最小になります。
お礼
回答ありがとうございます 内接の場合なんですね。外にはみ出して、接する場合も あるのかと思ってしまうとダメなんですね。
- nattocurry
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ABと接線が垂直じゃなかった場合、Aよりも近い点がAのすぐ隣(ABと接線が鋭角なほう)にあるから、じゃないですかねぇ？
お礼
回答ありがとうございます 何となくわかるようでわからないようで かんがえてみたいと思います
- aokii
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点Ｂ(0,2)を中心とする円をしだいに大きくしていってみて下さい。
お礼
回答ありがとうございます 円を次第に大きくするというのは、 わかりやすいです。
お礼
回答ありがとうございます 今の例でも「点A における接線と直線AB が直交してるけど AB間の距離が最小になっていない」ところはある. 原点で接して、他の２点で交わる場合がそうなんでしょうか。