微分で最小値を求める問題

質問

問題：
定点P(1,2)をとおり負の傾きをもつ直線がx軸、y軸の正の部分と交わる点をそれぞれA,Bとします。
Oを座標の原点とするとき、線分ABの長さの最小値を求めてください。
（ヒント：A(x,0)、B(0,y)とすれば1/x + 2/y = 1です）

ヒントの式を変形してｙをｘで表して線分の方程式を作り、ｘ＝1+3√4（１プラス4の三乗根）の時線分ABが最小になることが導けました。
ところが解答では線分ABの最小値が1+3√4(=x)の2分の3乗になっています。ということは
AB^2 = x^3 (線分ABの二乗がxの三乗に等しい）
ということですが、どうしてそうなるのかがわかりません。解答欄にも
AB^2 = x^2 + 4x^2/(x-1)^3 [ABの2乗＝xの２乗 + ４かけるｘの2乗割る(x-1)の三乗]
という式が出ています。この式とAB^2 = x^3 はどういう関係になるのでしょうか。
数式が読みにくくてて申し訳ありません。よろしくお願いします。

回答No.2

spring135

>（ヒント：A(x,0)、B(0,y)とすれば1/x + 2/y = 1です）

基礎学力がないためヒントの惑わされ自滅するという典型的なパターンです。

A(x,0)、B(0,y)なんておくと直線ABの方程式と紛らわしく手計算が進まないでしょう。

ここから混乱が始まっています。

A(a,0),B(0,b)とすると直線ABの方程式は

x/a+y/b=1　　　　（1）

これがすんなり導けないようではこの問題はあきらめたほうがよい。

（1）が点(1,2)を通ることから

1/a+2/b=1

これより

b=2a/(a-1) （2）

線分ABの長さをLとすると

L^2=a^2+b^2＝a^2+[2a/(a-1)]^2=a^2[1+4/(a-1)^2] (3)

(1)が負の傾きを持つためには

a>1 (4)

条件(4)のもとに(3)の最小値を求める。

L^2をaで微分して

d(L^2)/da=2L(dL/da)

L>0であるからdL/da＝0のときd(L^2)/da＝0、つまりLの極値を与えるaはL^2の極値を与える。

従ってLの極値を求めるために以下においてL^2の極値を与えるaを求める。

d(L^2)/da=2a[1+4/(a-1)^2]+a^2[4(-2)(a-1)^(-3)]=2a[(a-1)^3-4]/(a-1)^3

これが0となるためには

(a-1)^3-4=0

a=1+4^(1/3)　　　　　（5）

このaは(4)を満足し、a＜1+4^(1/3)ではd(L^2)/da＜0、a＞1+4^(1/3)ではd(L^2)/da＞0

よってLの最小値を与える。

最小値は（3）に(5)を代入して

L=[1+4^(1/3)]^(2/3) (6)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

f272

> AB^2 = x^2 + 4x^2/(x-1)^3 [ABの2乗＝xの２乗 + ４かけるｘの2乗割る(x-1)の三乗]という式が出ています。

AB^2 = x^2 + 4x^2/(x-1)^2の間違いでは？

ｘ＝1+4^(1/3)からx-1=4^(1/3)となり(x-1)^3=4
x^2+4x^2/(x-1)^2＝x^2+4x^2(x-1)/(x-1)^3＝x^2+x^2(x-1)=x^3

お礼

ありがとうございました。
おっしゃるとおり(x-1)^2のまちがいです。
こういう式の変形はとても思いつきません。