XY座標と式の関係

質問

次のような問題があります。

定点P(1,2)を通り、負の傾きを持つ直線がx軸、y軸の正の部分と交わる点をそれぞA,Bとします。Oを座標の原点とするとき、
（１）三角形OABの面積の最小値を求めてください。
（２）線分ABの長さの最小値を求めてください。
[ヒント：A（x,0), B(0,y)とすれば　1/x + 2/y = 1　です］

問題そのものはヒントを使って解けるのですが、このヒントを一般化して、
P(a,b)とすれば a/x + b/y = 1　
になるのですが、なぜそうなるのか、この式がどういう意味を持っているのかが解りません。どなたかわかりやすく説明してもらえないでしょうか。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

問題の直線の方程式を

　　X/α+Y/β = 1

とおくと、この直線とX軸との交点は（方程式にY=0を代入して解けば）A=(0,β)である。また、 Y軸との交点は（方程式にX=0を代入して解けば）B=(α, 0)である。
　ところで、この直線は点P=(a,b)を通るんだから、方程式に(X,Y)=(a,b)を代入して得られる式

　　a/α+b/β = 1

が成立つ。

　ご質問の「ヒント」の記号を使うと
　　x = α
　　y = β
ということになりますんで、ご質問の式が得られます。

　それにしてもこのヒントは酷いですなー。座標系をあらわすx,yとA=(x,0), B=(0,y)のx,yとは全く別の意味を持っているのにごっちゃにしていて大変紛らわしい。こういう記号の使い方は絶対真似しないように！（というわけで、上記の直線の方程式では区別を付けるためにx,yを使わなかったんです。）

補足

ご回答ありがとうございます。この回答で私の疑問は解消しましたが、ただ記述が間違っているのではないかと考えます。正確には

この直線とX軸との交点は（方程式にY=0を代入して解けば）A=(α, 0)である。また、 Y軸との交点は（方程式にX=0を代入して解けば）B=(0, β)である。

ではないでしょうか？