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図形の問題です。
図形の問題です。 正四面体の各辺の中点を直線で結んだ。正四面体の一辺の長さは2cmである。今、頂点Pから頂点Qまで、辺または直線上を通って4cmで移動したい。同じ辺または直線を2回通ってはならないとすると、移動の仕方は何通りあるか。ただし、中点を結ぶ直線は、立体内部を通らない。 答えは22通りです。 効率の良いやり方がわかりません。 どなたかご教授ください。 よろしくお願いします。
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＃１さんへの補足で付けたR～Yを使って、もう少し効率のいい方法を。 Pから進むことができるのは、P→T、P→U、P→V の３通り Qに進むことができるのは、T→Q、W→Q、X→Q の３通り なので、この３×３＝９通りの組み合わせを調べればいいことになりますが、P→TとT→Qの組み合わせはないから、残り８通りだけ調べることにします。 P→TとW→Qは、T→X→W、T→V→Wの２通り P→TとX→Q、P→UとT→Q、P→VとT→Qも、対称性から同様に２通り P→UとX→Qは、U→T→X、U→R→X、U→Y→Xの３通り P→VとW→Qも、対称性から同様に３通り P→UとW→Qは、U→T→W、U→V→W、U→X→W、U→Y→Wの４通り P→VとX→Qも、対称性から同様に４通り 以上から、2×4＋3×2＋4×2＝22
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- ItachiMasamune
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すみません。(5)は4通りでしたね。 ちなみに(3)と(4)は同じ図形だし、(6)～(9)も同じ図形だから改めて計算する必要ないですね。
- ItachiMasamune
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一度に大量の直線を考えるとややこしいので、場合分けをして考える。 場合分けで大事なことは過不足なく分類すること。すべての解が分類され、かつ同じ解を重複して分類されないように気を付ける。 私は通る平面で分類してみた。 説明しやすいように平面に名前をつける。 Pと向かい合ってる平面をA、Qと向かい合ってる平面をB、のこりの平面をCとDと名付ける。対称性からCとDはどっちでもいい。 ここで、面Aと面Bを通る場合とか、面Aのみを通る場合などと場合分けしたいのだが、問題がある。 それは、辺上を通る場合、その辺はどちらの面に含まれるのかという問題である。 この問題を解決するために、面ABCDに辺は含まれないとして考える。 例えば、辺上のみを通ってPからQに行った場合、面ABCDのどの面も通らなかったということになる。面Aを通ったと言った場合、面A上にある直線を通ったことになる。 [I]どの面も通らない場合 この場合、辺上のみを通るので2通り。 [II]一つの面のみを通る場合 (1)面Aを通る場合 0通り (2)面Bを通る場合 0通り (3)面Cを通る場合 3通り (4)面Dを通る場合 3通り [III]二つの面のみを通る場合 (5)面Aと面Bを通る場合 6通り (6)面Aと面Cを通る場合 2通り (7)面Aと面Dを通る場合 2通り (8)面Bと面Cを通る場合 2通り (9)面Bと面Dを通る場合 2通り (10)面Cと面Dを通る場合 2通り 全部足すと24通りになります。 あれ？
補足
ご回答ありがとうございます。 自分なりに考えて頂点と中点にそれぞれP,Qの他にR～Yのアルファベットをつけてました。 アルファベットの位置は添付した画像の一番手前の頂点をR,右奥の頂点をS。 中点はPQ間がT,PR間がU,PS間がV,QS間がW,QR間がX,SR間がYとしました。 △QSRの平面をA、△PSRの平面をB、△PARの平面をC、△PQSの平面をDと名付けました。 これをもとに回答いただいたものと照らし合わせていきます。 再度アドバイスお願いします。 [I]どの面も通らない場合 この場合、辺上のみを通るので2通り。 P→U→R→X→Q、P→V→S→W→Q [II]一つの面のみを通る場合 (1)面Aを通る場合 0通り (2)面Bを通る場合 0通り (3)面Cを通る場合 3通り P→U→T→X→Q、P→U→X→T→Q、P→T→R→X→Q (4)面Dを通る場合 3通り P→V→T→W→Q、P→T→V→W→Q、P→V→W→T→Q [III]二つの面のみを通る場合 (5)面Aと面Bを通る場合 4通り P→U→Y→W→Q、P→U→Y→X→Q、P→V→Y→W→Q、P→V→Y→X→Q (6)面Aと面Cを通る場合 2通り P→U→X→W→Q、P→T→X→W→Q (7)面Aと面Dを通る場合 2通り P→V→W→X→Q、P→T→W→X→Q (8)面Bと面Cを通る場合 2通り P→V→U→T→Q、P→V→U→X→Q (9)面Bと面Dを通る場合 2通り P→U→V→T→Q、P→U→V→W→Q (10)面Cと面Dを通る場合 2通り P→V→T→X→Q、P→T→V→W→Q 全部足すと22通りになります。