高校数学、立体図形

質問

図は全ての辺の長さが６の正４角錐である。PQRSはそれぞれOA,OC,AB,BCの点で、OP,OQ,AR,CSの長さはすべて２である。

4角形PRSQを底面とし、Oを頂点とする４角錐OPRSQの体積を求めよ。
眺めていても方針がたちません。ポイント、方針、解答教えてください。

回答No.6

info222_ · ベストアンサー

No.5です。

>座標上に乗せたほうがわかりやすいのでしょうか？
そのように思います。

ANo.5の添付図で辺SQ,辺RP,辺BPの延長の交点E
言い換えれば
平面BCO,平面ABO,平面PRSQの交点E
(平面BCOと平面ABOの交線BOの延長と平面PRSQの交点)
を立体的に性格に把握でき、簡単にその座標を導出できます。
　BO:x+z=3√2
　GF:2x+z=2√2
　(y=0)
を解けばE(-√2, 0, 4√2)が得られます。
この交点Eの座標から色々な三角錐の高さが容易に得られます。
（つまり三角錐の体積が簡単に求まります。）

交点Eの座標から
三角錐EOPQ（底面△OPQ）の高さ√2がEのｘ座標から得られること、
相似図形や相似立体の辺の比（相似比）が得られること
などのメリットがあります。

お礼

ベクトルを利用してみます。
有難うございました。

回答No.5

info222_

図のように補助線および記号を割り振ります。

四角錘OPRSQ=三角錐EBSR-三角錐OBSR-三角錐EOPQ

三角錐EBSR=△BSR*((4/3)OO')/3=△BCA*(2/3)^2*((4/3)OB/√2)/3
=(6^2/2)*(4/9)*(4/3)*6/(3√2)=32√2/3
三角錐OBSR=△BSR*OO'/3=△BCA*(2/3)^2*(OB/√2)/3
=(6^2/2)*(4/9)*6/(3√2)=8√2
三角錐EOPQ=△OPQ*√2/3=(2^2/2)*√2/3=2√2/3

∴四角錘OPRSQ=(32√2/3)-(8√2)-(2√2/3)=2√2 …(答)

補足

座標上に乗せたほうがわかりやすいのでしょうか？

回答No.4

gohtraw

PQを含み、ABCDに平行な面でこの立体を切ってみたらどうかな？

お礼

ありがとうございます。やってみます。

回答No.3

Cupper-2

あと視点は、何が分かればＯＰＲＳＱの体積が分かるのかを考えるって事かな。
自分はぱっと見で、ＯＰＱＲＳＢの三角柱に当たる部分の体積がわかれば何とかなると思うんだ。
だってさ、三角錐ＯＢＲＳの体積は簡単に求められるのだから・・・。

お礼

ありがとうございました

補足

ポイントや対策方法有難うございます。とりあえずその方法を見つけてみます。

回答No.2

Cupper-2

頭の中で図形をいろいろな角度から見てみるってことかな。
あとは補助線を引いたとき、どう見えるかで対策も見えてくると思いますよ。

回答No.1

tonimii

正四角錘であることから、三角形の角度は全て６０度
底面の角度は全て９０度である
角OACなど底面に近い頂点は全て４５度である

お礼

ヒントにします。有難うございました