最大値、最小値を求める問題を教えてください。

質問

最大値、最小値を求める問題を教えてください。
(1)f(x)=x^4－6x^2＋8x (－3≦x≦2)
(2)f(x)=sinx＋cosx (0≦x≦π)
(3)f(x)=x^2＋2/x (0<x≦2)
(4)y=||2x－1|－1| (0≦x≦2)
の四問ですお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)～(4)をグラフを描いて解いて見ました。
黄色で塗つぶした領域がxの範囲です。
連続して回答をします。

(1)
y'のグラフ（青線、y'=0の所が極値候補点となる）とyのグラフ（黒線）を描きました。
この添付図から「－3≦x≦2（黄色の範囲)」で
x=-2でyは最小値をとり「-24」となります。
x=2でｙは最大値をとり「8」となります。

次の回答に続く。

回答No.5

info22_

#2,#3,#4です。

続きです。
(4)
y=||2x－1|－1|を
「0≦x≦2」（黄色の範囲)でプロットした図を添付します。
図から、x=2のとき最大値2,x=0と1のとき最小値0が求まります。

回答No.4

info22_

#2、#3です。

続きです。
(3)
y=x^2+(2/x)
でいいですか？

そうであれば、この場合のy=f(x)のグラフは添付図のようになります。
0<x≦2（黄色の範囲）では、x=1のとき最小値3をとります。
x→0+でy=f(x)は∞になりますので最大値は存在しません。

続きは次の回答に続く。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の続きです。
(2)
y=sin(x)+cos(x)=√2 sin(x+π/4)
この図を描いて添付します。
問題のxの範囲「0≦x≦π（黄色の範囲）」の最大値はx=π/4のとき取り最大値=√2。最小値はx=πのとき取り最小値=-1。

続く。

回答No.1

aquatarku5

(1)
微分して極値を与えるxを調べ、増減表を
作成します。
f'(x)=4x^3-12x+8=4(x+2)(x-1)^2
なので、x=-2が極小値を与えます。
最大値は、f(-3)とf(2)を比較します。

(2)「三角関数の合成」を利用します。
f(x)=√2sin(x+π/4)　(π/4<=x<=5π/4)
あとは定義域内でのf(x)をグラフ化すれば
最小・最大がわかります。

(3)
微分して極値を与えるxを調べ、増減表を
作成します。
f'(x)=2x-2/(x^2)=2(x-1)(x^2+x+1)/(x-2)
なので、x=1が極小値を与えます。
最大値は、lim[x→+0]f(0)およびf(2)を比較します。

(4)
まず(2x-1)の正負で場合分けし、ついで
(|2x-1|-1)の正負で場合わけします。

グラフを描くのがわかりやすいです。
y=2x-1の内、x軸より下の部分を上下反転させた
のがy=|2x-1|のグラフになります。これを-1下に
ずらし、しかる後それのx軸より下の部分を上下反転
させたのがy=||2x-1|-1|のグラフになります。

最小値は、|2x-1|-1=0となるxが定義域にあるか
を考えます。
最大値は、f(0),f(1/2),f(2)を比較します。