分からないことがたくさんあります！

質問

高校2年生の加法定理について分からない問題がたくさんあります。

【1】0≦θ＜２πのとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよ。
sinθ-√3cosθ+1＜0

【2】関数y=2sinxcosx-sinx-cosxについて、次の問に答えよ。
(1)sinx+cosx=tとおいて、yをtで表せ。
(2)tのとり得る値の範囲を求めよ。
(3)yの最大値と最小値を求めよ。

たくさんありますが、どれでもいいので本当に
教えていただけると助かります。
よろしくおねがいします！

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

詳細は、#1さんに従って下さい。

　ここで言いたいのは、加法定理とか言う前に、次の事がわかっているかどうか、です。

　　sinとcosは、本質的に同じ関数です。それをわかってますか？。
　　だから#1さんの仰るように、「書き換え」や「置き換え」が可能なんですよ。

　何故ならsinとcosは、単位円周上をぐるぐる回る点のx座標とy座標を取っただけのものだからです。π/2だけ円周を回せば、sinとcosは一致します。それが、

　　cos^2(x)＋sin^2(x)＝1

の意味です。なので、sinx+cosx=tとすれば、

　　sin(x)+cos(x)=t
　　cos^2(x)＋sin^2(x)＝1

の2式から、sinもcosもtで表わせます。sin(x)とcos(x)を未知数と考えて、未知数の数と、条件式の数を勘定してみて下さい。
　もちろん上記を正直にやると、とんでもない目に会いますが、そこは#1さんの「t^2を考えよ」がヒントです。さらに【1】だって、「cos^2(x)＋sin^2(x)＝1」から、単なる2次関数に帰着できるかも知れません。#1さんの方法が、最も効率的と思いはしますが、一度そのあたりの基本を整理した方が、良い気がします。なぜ解けるかを、考える事です。

回答No.1

naniwacchi

いずれの問題も sinと cosが混在しています。
このままでは、計算するのが難しいので、「書き換え」や「置き換え」をします。
（(1)が書き換え、(2)が置き換えになります。）

【1】「三角関数の合成」を用います。
まず、準備として不等式を以下のように変形しておきます。
sinθ-√3cosθ＜ -1

そして、左辺に対して「合成」をおこないます。
三角関数の合成は加法定理の応用になります。
以前に回答した内容です。参考まで。
http://sqa.scienceportal.jp/qa5376408.html

最終的には、
sin(θ+α)＜ △

の形にして、α≦θ+α＜ 2π+αで不等式を満たすところを探します。

【2】小問で誘導されているとおりに、置き換えをおこないます。
(1) t^2を考えることで、sin(x)* cos(x)を書き下すことができます。
(2) 三角関数の合成を用いることで、とりうる値の範囲がわかります。
(3) (1), (2)を組み合わせれば、2次関数の問題として扱うことができます。