物理単振動の問題について

質問

赤いぐにゃぐにゃ：ばね乗数kのばね
黒いぐにゅぐにゅ：ばね乗数2kのばね

丸は、質量mのおもりで、手書きのxの方向を正とします。
左の図では、上向き矢印の角度をθとします。

手書きの0の部分は原点をあらわす記号です、また摩擦はないとします。gは重力加速度です

さて、右の図で、ばねは双方ともに自然長です。次にx = L0の位置ではなして単振動させます。
原点から変位をｘとすれば、

ma = -3kx　⇔　a = (-3k/m) {x - 0 } より、振動の中心は、原点0で、振幅はL0だと思います。
これはわかります。次に右のほうです。

まず、右の棒をθ傾けて、左のようにしてつりあいの位置で静止しています（本当の図は三角形ではなくて、長方形です、斜めの長方形が描写できませんでした）

（つまり右と左の原点の位置は違う、つりあいの位置で新たに原点にします）
ここで、左の図のおもりを、ばねが自然長になるように、移動させます。

つまり、x = mg sin θ/3kの位置まで持ってくることだと思います（図でいうと青い線の部分）

ここで運動方程式を立てると、原点からの変位をxとすると、

ma = -mg sinθ - 3k x ⇔　a = -(3k/m) { x + mg sin θ/3k}より、振動の中心は、- mg sin θ/3k
（図の赤い線の部分）で、振幅は、赤と青の線のAの長さになるのではないのですか？

答えは振幅はmg sin θ/3kで、中心は原点となっていました。上記のように式変形をしたのに、なぜ原点が0になるのですか？

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

＞ここで運動方程式を立てると、原点からの変位をxとすると、
＞ma = -mg sinθ - 3k x

これが間違っています。バネの力は伸びに比例するわけですが、伸びというのは自然長からの変化分なので原点0にある状態で上のバネはmg sin θ/3kだけ伸び、下のバネはmg sin θ/3kだけ縮んでいます。つまり、原点0からxだけ変位すると

上のバネの伸び = mg sin θ/3k - x
下のバネの伸び = -mg sin θ/3k + x

バネの力は大きさが『(バネ定数)×(伸び)』で、上のバネは伸びた時に上向きに力が働き、下のバネは伸びた時に下向きに力が働くことを考慮すると

上のバネの力 = 2k (mg sin θ/3k - x) = 2mgsin θ/3 - 2kx
下のバネの力 = -k (-mg sin θ/3k + x) = mg sin θ/3 -kx

となり、合力は

バネの合力 = 上のバネの力 + 下のバネの力 = mg sin θ - 3kx

この他に重力の寄与もくわえて運動方程式は

ma = -mg sinθ + ( mg sin θ - 3kx) = -3kx

となり、x=0を中心に振動します。

お礼

ありがとう、俺もいま考えてみたら、座標の取り方によってばねの力が変わるわけがないことに気がつき、ばねの変化分から運動方程式を立てることに気が付きました。

丁寧にありがとう