ラプラス方程式の境界値問題について

質問

「次のラプラス方程式の境界値問題を解け。ただしD>0とする。
・u_xx+u_yy=0　(x^2+y^2<D^2)

・u(x,y)=f(x,y) (x^2+y^2=D^2)

*・u_xxはxの2回微分を示し、u_yyもyの２回微分を示す。
　・２式は連立方程式である

この問題が自分でもわかりませんし友達に聞いてもわからないようなので教えてください。お願いします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

(∂^2u/∂x^2)＋(∂^2u/∂y^2) = 0　　(x^2+y^2<D^2)
u(x,y)=f(x,y)　　　　　　　　　　 (x^2+y^2=D^2)

半径Dの円板に関するディリクレ問題と捉えることが出来る・・!
ラプラス方程式を直交座標から極座標（x = rcosθ , y = rsinθ）に変換して書き直すと
(∂^2u/∂x^2)＋(∂^2u/∂y^2) = (∂^2u/∂r^2)＋(1/r)・(∂u/∂r) ＋(1/r^2)・(∂^2u/∂θ^2) = 0　(0≦r＜D)
境界条件は
u(D,θ) = f(θ)　（0≦θ≦2π）
u(r,θ) = u(r,θ+2π)
・・・と見ることが出来る・・!

・・んでこれを解くと
u(r,θ) = (1/2π)・∫[0→2π]f(φ) ｄφ＋(1/π) ・Σ[n=1～∞](r/D)^n・（cos(nθ)・∫[0→2π]{f(φ)cos(nφ)}ｄφ＋sin(nθ)・∫[0→2π]{f(φ)sin(nφ)}ｄφ）

お礼

親切丁寧なご回答本当にありがとうございました！