２自由度系の自由振動

質問

２自由度系の自由振動の問題ですが、どのように考えれば良いのかわかりません。
どうかご教授ください。

長さlで質量mの一様な棒の右端に、質量mの球が付いています。
棒の両端は、バネ定数kのバネで地面とつながっています。

(1)ラグランジュの方程式を使用して運動方程式を立てよ。
(2)2つの固有振動数を求めよ。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

座標の設定の指示があるようですので，
系の重心の座標を下向きにx，棒の角変位を右回りにθとします。
以下「'」で時間微分を表示します。また，小文字はまぎれるので長さはLとします。

L = 1/2・2mx'^2 + 1/2・Iθ'^2 - 1/2・k(x-3Lθ/4)^2 - 1/2・k(x+Lθ/4)^2

ここで，系の慣性モーメントは，I = 5mL^2/24。
また，重力による位置エネルギーの項は，つりあい位置をx，θの座標原点にとることでキャンセルされることはご存知のことと思います。

運動方程式をつくると，
x'' = -ω0^2(x-Lθ/4)
θ'' = 12/(5L) ω0^2(x-5Lθ/4)
ただし，ω0 = √(k/m)

規準振動の振動数（固有振動数）を求めるために，
x = x0 e^(iωt)，θ = θ0 e^(iωt)
とおくと，x0とθ0の方程式を２つ得ます。x0/θ0の比が矛盾しないための条件からω^2に関する２次方程式を解けば，
ω = √{ 2±√(8/5) }・ω0
を得ます。

シミュレーションはω0=10の設定で，ほぼ理論どおりの周期になっています。

お礼

ありがとうございました。
動画までのせていただき、大変参考になりました。

回答No.1

yokkun831

ちょっとひどい問題ですね。
自由度２というなら，拘束条件をもう少し具体的にご紹介ください。
ばねは地面から鉛直ですか？　もしそうであるならば，もちろん振動によってばねは鉛直を保てませんが，それを鉛直と近似してよいのでしょうか？　つりあい位置での傾きは小さいとしてよいのでしょうか？　そうしなければばねを鉛直とする近似も使えないと思われますが。

補足

すみません、説明が足りなかったようで。
・バネは地面に鉛直です。
・重心位置での変位をx(鉛直方向)、θ(回転方向)
・θは十分小さく近似できる

以上です。