波動方程式の差分法による境界条件

質問

波動方程式(ρ*∂^2u/∂t^2=T*∂u^2/∂x^2)を差分法で、境界条件をx=0とx=Lで自由条件（T*∂u/∂x=0)とした場合を考えています。
上の波動方程式を差分化すると、
(u[n+1][j]-2*u[n][j]+u[n-1][j])/(dt^2)=(u[n][j+1]-2*u[n][j]+u[n][j-1])/(dx^2)
の形になると思います。（T/ρ=1.0とし、nは時間、jは距離の格子点として考えています）
初期条件は適当な形状を与えます。
両端を固定条件（u[n][0]=0,u[n][xp]=0,）とした場合はうまく解を得ることが出来ました。（xpはx=Lでの格子点）
問題は自由条件（T*∂u/∂x=0)すなわち、
T*(u[n][1]-u[n][0])/dx=0、T*(u[n][xp+1]-u[n][xp])/dx=0
となる場合、これをどのように使用したらよいのでしょうか？
または根本的に考え方が間違っているのでしょうか？
本当に困ってます。よろしくお願いいたします。
内容が不十分の場合は補足要求お願いします。

回答No.2

0shiete · ベストアンサー

下記サイトの

『熱方程式に対する差分法 I --- 区間における熱方程式』

の項目をご覧ください（PDFの資料あり）

卒業研究で取り組んだ例が示されており、わかりやすいです。

１、左で前進差分、右で後退差分を用いる方法
２、仮想格子点を用いる方法

があるそうです。

参考URL：

http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/

お礼

ありがとうございました。
参考にさせていただけます。

回答No.1

0shiete

差分法では２点あってはじめて１階の微分が表現できるので、境界で微分値を与えようとすると、定義されていない点の情報が必要になるという問題が
おきます。

これを回避するために、境界では添え字をずらして「流体中の」境界に近い２点を用いて微分値を計算し、それを次の時間ステップで使うのだと思います。
（境界で格子間隔を小さくする必要があります）

私は素人ですので、詳しくはその方面の専門書を参照ください。

補足

大変遅くなってしまい申し訳ございません。
ご回答ありがとうございます。
えぇ～分かったような分からないようなといった感じなんですが（多分分かってないですが）、単純に
T*(u[n][1]-u[n][0])/dx=0とT*(u[n][xp+1]-u[n][xp])/dx=0 を
u[n][1]=u[n][0]とu[n][xp+1]＝u[n][xp]
としてしまってよいのでしょうか？
前式はできないこともないような気がしますが、後式はどうも。。。っという感じがします。