留数を用いた積分

質問

数学の授業で留数を用いた積分をやり、例題なども計算したのですが、いまいち理解できずにいます

添付した画像に書いてある問題を今やっているのですが、2日ほど考えて積分できずお手上げ状態になってしまったので質問させていただきました。

どなたか解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

要するに留数定理を使えばよい。
積分路が囲う領域に含まれる特異点が、どれも孤立特異点であることを確認し、
各特異点の留数を求める。留数の和に 2πi を掛けたものが、閉路積分の値。
真性特異点の留数を求めるのは、容易でない場合もあるが、
積分路が囲う特異点が有限個の極だけである場合には、簡単な計算で済む。

特異点の中で、k>n のとき lim[z→a] f(z)・(z-a)^k = 0 となり、
k<n のとき lim[z→a] f(z)・(z-a)^k が発散するような自然数 n がある a を
f(z) の極といい、n をその極の位数という。z = a が f(z) の位数 n の極ならば、
その留数は { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) f(z)・z-a)^n である。
このことは、f(z) の z = a でのローラン展開を z = a の近傍で項別に積分
してみれば確認できる。

一問目：
積分路が囲う特異点は z = 0 と z = 1。有限個だから孤立している。
z = 0 は 1 位の極で、留数は lim[z→0] (cos z)/(z-1) = -1。
z = 1 も 1 位の極で、留数は lim[z→1] (cos z)/z = cos 1。
よって、積分の値は (2πi)(-1 + cos 1)。

二問目：
n が自然数であれば…
積分路が囲う特異点は z = 0 のみ。唯一だから孤立している。
z = 0 は n + 1 位の極で、留数は (1/n!) lim[z→0] (d/dz)^n e^(kz) = (k^n)/(n!)。
よって、積分の値は (2πi)(k^n)/(n!)。
k は任意の複素数でよい。

お礼

分りやすい説明ありがとうございます。
授業では着いていくので精一杯でしたのでとても助かりました。
同じような問題を何問も解いて計算に慣れたいと思います。
本当にありがとうございました

回答No.2

info22_

(1)
積分経路内に孤立特異点が２つある。
z=0とz=1
したがってそれぞれに対する留数
Res(0)=-1
Res(1)=cos(1)
を求めて
留数定理の積分公式に当てはめれば良い。
積分I=2πi{Res(0)+Res(1)}
後は留数を求めた代入するだけ。

(2)
kとnがありますがどんな数か、説明されたし。
ひょっとしてnはkの間違いでkは自然数といったことはないですか？

もしそうなら積分路C内の孤立特異点がz=0となるので
留数は　Res(0)=(k^k)/k!　（kは0または自然数）
となるから、留数定理により
積分はRes(0)の 2πi倍になるかと思います。

お礼

分りやすい説明ありがとうございます。
まずは計算に慣れるために初歩的な問題を何問も解いていこうと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どう考えたのか知りたいところではある. いろんな方法がありそうだけど
上: 部分分数に分解→留数定理
下: コーシーの積分公式 or グルサの定理
ぐらい?

お礼

書き込みありがとうございます。
留数定理を使っていたのですが、完全に理解できておらず途中計算を間違えていました。
ご迷惑をおかけしました