微分方程式

質問

d^2Y/dX^2 - B(dY/dX) - (BC)Y = 0

この微分方程式を解くと次のようになるらしいのですが，その過程がさっぱりわかりません。

　Y = 4aexp(B/2) / {(1+a)^2 exp(aB/2) - (1-a)^2 exp(-aB/2)}

a = (1+4BC)^(1/2)

なんだか，ややこしそうですが，途中の式or考え方を教えて下さい。

回答No.2

ryumu

No1の方に加えて、もう少しヒントを。

No1の方の二次方程式から、問題の微分方程式は

（Ｄ－ｑ１）（Ｄ－ｑ２）Ｙ＝０　　・・・（＊）

と変形できます。

（Ｄ－ｑ２）Ｙ＝Ｚ　と置くと、（＊）は

（Ｄ－ｑ１）Ｚ＝ｄＺ／ｄＸ　-　ｑ１Ｚ＝０　・・・（＃）

となります。

ここで、大事なヒントを。

一般に、ｋを定数として

ｄｙ／ｄｘ　-　ｋｙ＝ｅｘｐ（ｋｘ）ｄ［ｙ・ｅｘｐ（-ｋｘ）］／ｄｘ

が成り立ちます（確認して下さい。かなり使える式です）。

すると、

（＃）＝＞　ｄＺ／ｄＸ　-　ｑ１Ｚ＝ｅｘｐ（ｑ１Ｘ）ｄ［Ｚ・ｅｘｐ（-ｑ１Ｘ）］／ｄｘ　＝０

＜＝＞　ｄ［Ｚ・ｅｘｐ（-ｑ１Ｘ）］／ｄｘ　＝０

＜＝＞　　Ｚ・ｅｘｐ（-ｑ１Ｘ）　＝定数＝Ｋ

＜＝＞　　Ｚ＝Ｋｅｘｐ（ｑ１Ｘ）　・・・（＄）

となります。
一方、Ｚ＝（Ｄ－ｑ２）Ｙ　ですので、

Ｚ＝（Ｄ－ｑ２）Ｙ　＝ｅｘｐ（ｑ２Ｘ）ｄ［Ｙ・ｅｘｐ（-ｑ２Ｘ）］／ｄｘ

（＄）より、

ｅｘｐ（ｑ２Ｘ）ｄ［Ｙ・ｅｘｐ（-ｑ２Ｘ）］／ｄｘ　＝Ｋｅｘｐ（ｑ１Ｘ）

＜＝＞　ｄ［Ｙ・ｅｘｐ（-ｑ２Ｘ）］／ｄｘ　＝Ｋｅｘｐ［（ｑ１-ｑ２）Ｘ］

以後、積分してください。積分定数がもう一度出ますのでご注意を。
この手の二次微分方程式の一般解もこれで確認できると思います。

お礼

ありがとうございました。
これをきっかけとして，もう少し勉強しようと思います。

回答No.1

noname#17965

答えが間違ってます。Ｘを含んでないでしょう？
Ｙは定数ってことになってしまいます。

微分演算子をＤとすると問題の式は
（Ｄ＾２－ＢＤ－ＢＣ）Ｙ＝０
この時Ｄを変数ｑと置いた時に得られる２次方程式
ｑ＾２－Ｂｑ－ＢＣ＝０
の解をｑ１、ｑ２とすると、微分方程式の解は
Ｙ＝α*exp(q1*X)＋β*exp(q2*X)　α、βは任意の定数
となります。そういう定理があります。後は自分で変形して求めて下さい。

お礼

答えは間違っていませんでした。反応工学の式なので，無次元化するために，式をいろいろと変形した結果らしいのです。問題の式じたい，すでにいろいろと変形された形になってました。
まだ，解けていないのですが，頑張ってみます。
ありがとうございました。