３次方程式の解の求め方

質問

2x^3+(3+√3)x^2+(5+√3)x+2√3+2=0 を解け。

３次方程式は因数定理を用いて、一次式×二次式に因数分解
すればよいのは分かるのですが、・・・
一次式の因数をどうみつければよいのか
よろしくお願いします

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１さんが言われるように、確かにノーヒントでは難しいと思います。
　因数定理を使うには係数が整数でないと見つけにくいです。　ですので、この方程式に限った方法ですが、ダメ元で唯一の無理数 √3 に注目して、式を分け、それぞれで因数分解することを試みてもよいと思います。
　そうするとたまたまですが、うまく因数分解できてしまいした。
　（なにかもう因数分解の結果を知っているので天下り感は否めませんが。）

　2x^3+(3+√3)x^2+(5+√3)x+2√3+2
={2x^3+3x^2+5x+2} +√3(x^2+x+2)
=(2x+1)(x^2+x+2) +√3(x^2+x+2)
=(2x+1+√3)(x^2+x+2)

　よろしければ参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます
別の解法を用いないといけないことが分かった
だけでも、よかったです。

＞そうするとたまたまですが、うまく因数分解できてしまいした。
他のこの種の場合は、またその問題に応じてということになるのですね。

回答No.6

okada2728

因数定理は’f(a)＝０のときf(x)がx-aの因数をもつ’ということなので、f(a)＝2a^3+(3+√3)a^2+(5+√3)a+2√3+2=0 となるような実数aがあることになりますが、これを満たすにはf(a)=α+β√3と置いた時に、α＝2a^3+3a^2+5a+2=0、β＝a^2+a+2=0を成り立たせるaが候補になります（必要条件）。
この第2式の方からaを求めてしまえばよいのではないでしょうか。十分条件であることを証明する必要はないので、そ知らぬ顔をしてaを見つけたといえばよいのです。

回答No.4

naniwacchi

こんにちわ。

確かに、このままで「定数項の因数を考える」と言われても難しいですよね。

√3がそろいにそろっているので、
そこをくくり出してみる（ある種、文字扱い）ぐらいの工夫になると思います。
高校数学の範囲であれば、そうなる「はず」ですね。＾＾

お礼

回答ありがとうございます
別の解法を考えなければならないと言うことですね

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)(2x＾3＋3x＾2＋5x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x)*(x＾2＋x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x＋√3)*(x＾2＋x＋2)＝0　

(正)(2x＾3＋3x＾2＋5x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x＋1)*(x＾2＋x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x＋1＋√3)*(x＾2＋x＋2)＝0

回答No.2

mister_moonlight

方程式をばらすと、(2x＾3＋3x＾2＋5x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x)*(x＾2＋x＋2)＋(√3)*(x＾2＋x＋2)＝(2x＋√3)*(x＾2＋x＋2)＝0　と変形するだけ。

お礼

回答ありがとうございます
こういうふうに考えをかえなければならないのですね。

回答No.1

Tacosan

手元の Maxima は x = -(√3+1)/2 を解として見つけたけど.... これを見つけろというのは無理だと思うなぁ.
この方程式がどこから出てきたかがわかればまだ何とかなるかもしれんが, ノーヒントでこの方程式を渡されて「解け」といわれたら, 私は無理.

お礼

回答ありがとうございます
私が気づかないだけで簡単にもとめることができると
おもいましたが、そうでないということで、悩んで
考えた甲斐はあったとおもいました。