方程式の解き方

質問

はじめまして。
方程式の解き方で悩んでいます。
2x^4-x^3-6x^2-x+2=0　　(x+1/x=tとおく)
という方程式なのですが、因数定理を用いて
(x-1)(x+1)^2(2x+1)=0
と左辺を因数分解し
x=1,x=-1,x=-1/2
と解を求めることができたのですが、
「x+1/x=tとおく」という条件の使い方がわかりませんでした。

どなたかお教えいたけないでしょうか。
もし、左辺の因数分解がまちがっているのであればご指摘いただけるとさいわいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

ranx · ベストアンサー

係数の対称性に注目すると、この方程式は
2(x^4+1)-(x^3+x)-6x^2=0
と書き換えることができます。
ここでx=0は解ではありませんから、x^2で両辺を割ると
2(x^2+1/x^2)-(x+1/x)-6=0　・・・(1)
と変形されます。
x+1/x=t ・・・(2)　の両辺を2乗すると
x^2+2+1/x^2=t^2
∴ x^2+1/x^2=t^2-2　・・・(3)
(2)と(3)を(1)に代入すると、tについての二次方程式になります。
こうすれば解きやすいでしょうということです。

質問者さんの求めた解ですが、元の方程式に代入してみて下さい。
あっていますか？

お礼

すぐに回答を下さりありがとうございます。
よくわかりました。思い出せてうれしいです。とてもすっきりしました。もう、十何年前に習ったことだったので…。
とにかくありがとうございました。