４次方程式を解きたいのですが

質問

次の方程式の解き方を教えてください。

x^4 -4x^3 -4x -1 = 0

因数定理を使って左辺を因数分解しようとしたのですが、できませんでした。

回答No.6

yuusukekyouju · ベストアンサー

4次式を因数分解する場合
4次の係数が１であるため第１段階として
次の２つの場合が考えられる。
・１次と3次に分解
（ｘ＋a)(x^3+bx^2+cx+d)となり
方程式の係数が全て整数であるため
aとdの積が-1となるので
a,dは１または-１でなくてはならないが
問題の方程式をｆ（ｘ）としたとき
ｆ（1）＝-8、ｆ（-1）＝8となり
a=1または-1とはならないので
1次と3次には分解できない
・2次と2次に分解
この場合定数項は-1であるため
(x^2+ax+1)(x^2+bx-1)となる
この式を展開して各次数を比較する
3次　　a+b=-4
2次　　ab=0
1次　　-a+b=-4
以上3式より　a=0 b=-4
よって問題の方程式は
(x^2+1)(x^2-4x-1)となる
さらに実数の範囲で因数分解すれば
(x^2+1)(x-2-√5)(x-2+√5)となります

お礼

なるほど、ありがとうございます。

このご回答が一番納得いきます。

回答No.5

mirage70

補足に対して、
最初より、見つけようとしても難しいので、
x≠0であるから、x^2で割ってみると云うことをします。
(因数定理も実数範囲で使えなかったわけですので、どのようにして解を出すかと云うことです)
x^2で割ることにより、x^2と(1/x^2)及びxと(1/x)にもっていって、因数分解出来るかを調べます。そして、
因数分解が出来れば、x^2で割ったのであるから、x^2を掛ければ与式となります。
x^2で与式を割った方が、因数分解出来るかどうかが、判別しやすいと云うことです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

uyama33

すみません
No 1 の補足を見ていませんでした

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

uyama33

x^4 -4x^3 -4x -1
= x^4 -1 -4x^3 -4x
= (x^4 - 1) - 4(x^3 + x)
= (x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)
= (x^2 + 1)((x^2 - 1) - 4x )
= (x^2 + 1)((x^2 - 4x - 1 )

ここで、解の公式をつかう

(x^2 + 1)　＝０
から
　x= i, -i

(x^2 - 4x - 1 ) = 0
から、

ｘ＝（4+2√5)/（2）= 2+√5
x = (4-2√5)/（2）= 2-√5

とするのが、
簡単かな？

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

KanjistX

P(x)=x^4-4x^3-4x-1とおいたとき
P(i)=0, P(-i)=0となることを確かめてみてください。
(iは虚数単位。i^2=-1)

因数分解を虚数にまで拡張すれば
x^4-4x^3-4x-1=(x-i)(x+i)(x-2-√5)(x-2+√5)
となります。

補足

問題を解くにあたって、私は次のように考えることでしょう。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
P(x)=x^4-4x^3-4x-1
ま、因数定理で因数を見つけるとしよう。
定数項は　-1だから、P(1)とP(-1)を計算してみよう。
P(1)=1-4-4-1≠0
P(-1)=1+4+4-1≠0
ええと、どうしよう・・・
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

ご回答でおっしゃっているのは
この段階で　P(i)を計算してみましょう、ということですね。

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P(i)=i^4 -4i^3 -4i -1
=1 +4i -4i -1
=0

おお、やったやった、P(x)はx-iで割り切れるらしいぞ。
P(x)をx-iで割ると、・・・

i | 1 -4　 0　 　　-4　 -1
+) 　 　i　-4i-1 　4-i 　1
-------------------------
　1 -4+i -4i-1 　-i　　0

となるから、
P(x)=(x-i) { x^3 +(-4+i)x^2 +(-4i-1)x -i }

うおおお・・・
後半を因数分解するのがこりゃまた面倒くさい。
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そうじゃなくて、
P(i)=0　がわかった段階ですぐに割り算に入るのではなくて、P(-i)=0であることも知っておかなくてはいけないのか・・・
そうすれば、(x-i)(x+i)　つまり
x^2 + 1　で割り切れることがわかるのだから、、、

回答No.1

mirage70

x=0よりx^2で両辺を割ります。
x^2-4(x+(1/x))-(1/x^2)=x^2-(1/x^2)-4(x+(1/x))
=(x+(1/x))(x-4-(1/x))=0
ここで、再度x^2を掛けます。
x^4-4x^3-4x-1=(x^2+1)(x^2-4x-1)=0
後は、よろしいでしょう。

補足

言い換えると、
x^4 -4x^3 -4x -1
= (x^4 -1) -4x^3 -4x
= (x^2 +1)(x^2 -1) -4x(x^2 +1)
= (x^2 +1) { (x^2 -1) -4x }
= (x^2 +1) (x^2 -4x -1)

とやるわけですね。
これはこれは　私にとっては難しい・・・