３次方程式の異なる３つの実数解の範囲を教えて下さい。

質問

３次方程式Ｘ^３＋(ａ－２)Ｘ^２－４ａ＝０　の左辺は
(Ｘ－２)(Ｘ^２＋ａＸ＋２ａ)と因数分解できる。よって、方程式が異なる３つの実数解をもつようなａの値の範囲は
ａ＜－１、－１＜ａ＜０、８＜ａである。

という問題があるのですが、解き方がどうしてもわかりません。
詳しく教えていただける方、よろしくお願いしてます。

回答No.2

fukuda-h

解の一つは２です。こてを頭に入れて
Ｘ^２＋ａＸ＋２ａ＝0
が互いに異なる２つの実数解を持つ条件はD＞0ですから
a<0,8<a・・・・（１）
このとき解の一つが２だと２が重解になってしまうので
Ｘ^２＋ａＸ＋２ａ＝0は２以外の解をもつ
調べにくいので２を解に持つときは
ｘ＝２を代入するとa＝-1これを（１）から除いて
と考えます。

お礼

詳しい回答をしてくださってありがとうございます。
次回の授業で私がこの問題を説明しなければならないので
とても参考になりました。

回答No.1

debut

Ｘ^２＋ａＸ＋２ａ＝０の判別式が正であること
と、Ｘ^２＋ａＸ＋２ａ＝０の解が２にならないので
これにＸ＝２を代入した　４＋２ａ＋２ａが０に
ならない、つまりａ≠－１を同時に考えれば
いいことになります。

お礼

判別式を使う所まではわかったのですが、解の２を使ってａの範囲を求められるんですね。

回答ありがとうございました。