漸化式と極限について教えてください

質問

漸化式と極限について教えてください

次の3問を教えてほしいです

よろしくお願いします

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

半直線と円の問題は、「図のように互いに接しながら」の
図が見当たりませんので、いかんともしがたいです。

数列
(1)
t=t/3+3より、t=9/2
よって、漸化式a[n+1]=a[n]/3+3は、
a[n+1]-9/2=(a[n]-9/2)/3と変形できる。
数列{a[n]-9/2}は、初項=a[1]-9/2=-7/2,公比1/3の等比数列。
a[n]-9/2=(-7/2)(1/3)^(n-1)
a[n]=(-7/2)(1/3)^(n-1)+9/2

(2)
t^2=t+2より、t^2-t-2=0
(t+1)(t-2)=0
t=-1,2
よって、漸化式a[n+2]=a[n+1]+2a[n]は、次の2とおりで表わせる。
a[n+2]+a[n+1]=2(a[n+1]+a[n]) …… (1)
a[n+2]-2a[n+1]=-(a[n+1]-2a[n]) …… (2)

(1)より、数列{a[n+1]+a[n]}は、初項=a[2]+a[1]=3,公比2の等比数列。
a[n+1]+a[n]=3・2^(n-1) …… (3)

(2)より、数列{a[n+1]-2a[n]}は、初項=a[2]-2a[1]=-3,公比-1の等比数列。
a[n+1]-2a[n]=(-3)・(-1)^(n-1)=3・(-1)^n …… (4)

(3)-(4)より、
3a[n]=3・2^(n-1)-3・(-1)^n=3{2^(n-1)-(-1)^n}
a[n]=2^(n-1)-(-1)^n

回答No.2

asuncion

＞数列
＞(1)
＞a[n]=(-7/2)(1/3)^(n-1)+9/2

a[n]=(-21/2)(1/3)^n+9/2
の方が美しいかも。

極限値については、一般項が求まったので、わかると思います。