連続体の運動方程式導出の過程について

質問

図のように弦の微小部分を考えて、この部分に対する運動方程式を立ててみよう。この微小部分(長さΔx)は両側から張力ＴとＴ'で引っ張られている。図のように角度θとθ'を定義すると、左右方向の力の合計と上下方向の力の合計は
左右方向：Ｔcosθ-T'cosθ'
上下方向：Tsinθ-T'sinθ'となる。ただし力の左右方向の成分は上向きを正とし、上下方向の成分は上向きを正とした。

弦の変位は十分小さいとすると、Δxの微小部分は上下にのみ運動していると考えてよい。
したがって左右方向の力はつりあって合計でゼロであると考えられる。一方、上下方向の力は加速度を与える。微小部分の質量をΔmとおくと、運動方程式は0=Tcosθ-T'cosθ' となる。

この弦の変位が十分小さいとすると、Δxの微小部分は上下のみに運動していると考えてよいという意味がわかりません。

一体なぜ力がつりあってるとしていいんでしょうか？

回答No.1

IrGacria · ベストアンサー

数学的には。。。

θが非常に小さいとき、　
　cosθ＝１　すなわち定数で、角度依存性は消失。
　いっぽう、
　sinθ＝θ　　sinθ'＝θ'
　角度依存性は残っています。
という解釈で良いでしょう。

物理的に解釈するには、実験してみてください。
適当な長さの紐（釣り糸40cmとか）を用意して、適当な位置(中心と中心以外の点)にインクで小さな印をつけ、引っ張り振動（？）の定常波を立てるのです。
結構大きな振幅になっても、印の位置は上下運動しかしないはずです。

お礼

回答をありがとうございました

回答No.2

my3027

質問中の「上下」と「左右の上下」(例：左右方向の成分は上向き?)等の記載が混乱させてい原因かも。

大体式併記で予想は付きますが、添付の図の上下と実際のプリントの上下の整合性を確認してみれば、意外とわかるかもしれません。