質量マトリックスの導出

質問

今、弦の振動を有限要素法で解く勉強をしているのですが、
途中で運動エネルギーから質量マトリックスを導くところがあるのですが。。。

Ｔ=∫ρ・ｕ(t)＾Ｔ・Ｌ(x)・Ｌ(x)＾Ｔ・ｕ(t)　ｄx
　=ｕ(t)＾Ｔ・∫ρ・Ｌ・Ｌ＾Ｔ　ｄｔ・ｕ(t)
　=ｕ(t)＾Ｔ・[M]・ｕ(t)

[M]＝∫ρ・Ｌ・Ｌ＾Ｔ　ｄｔ

T；運動エネルギー
L(x)；形状関数
u(t)；変位ベクトル
○^T；○の転置行列
[M]；質量マトリックス

という部分なのですが、式の変形自体はわかるのですが、
なぜ運動エネルギーから質量マトリックスが導出されるのか、
いまいちわかりません。

運動方程式から、仮想仕事の原理やハミルトンの原理を用いて、
表されるというのを聞いたのですが、これらと運動エネルギーの式を
どうつなげるのか。。。どなたか教えてください。
よろしくお願いします！！！

わかりにくい表現が多くてすみません・・・

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

Ｔ=∫ρ・ｕ(t)＾Ｔ・Ｌ(x)・Ｌ(x)＾Ｔ・ｕ(t)　ｄx
　=ｕ(t)＾Ｔ・∫ρ・Ｌ・Ｌ＾Ｔ　ｄｔ・ｕ(t)
　=ｕ(t)＾Ｔ・[M]・ｕ(t)

を、ここでは、
　　Ｔ=∫ρ・|Ｌ^Ｔ・ｕ|^2　ｄx

と略記します。まず、
　　Ｔ=1/2×∫ρ・|Ｌ^T・ｕ|^2　ｄx　　　(1)

だと思います。そこで、圧縮して言うと、

＞運動方程式から、仮想仕事の原理やハミルトンの原理（いずれも最小作用の原理）を用いて、表される

ので、具体的に言えば最小化するために、tで微分して、＝0とおけばいい訳です。ただし今欲しいのは、微分した形です。内積の微分公式を使って、(1)をtで微分すると、
　　Ｔ’＝∫ρ・(Ｌ^T・ｕ，Ｌ^T・ｕ’)　ｄx
　　　　＝∫ρ・ｕ^T・(Ｌ・Ｌ^T)・ｕ’　ｄx

となるので、質量 Matrix は、[Ｍ]＝Ｌ・Ｌ^T となります。ここで「’」は時間微分です。
　少し読みにくいですが、参考文献として「有限要素法ハンドブック」をご紹介します。