変位に比例する力と速度に比例する抵抗力を受ける物体の運動方程式の解析

質問

[問]質量ｍの粒子が、変位に比例する力-kxと速度に比例する抵抗力-mγvを受けながら運動している。
x(t)=Aexp(-iΩt)とおいて、運動方程式を解析せよ。ただし、抵抗力は十分小さいとしてよい。

上のような問題で、運動方程式にx(t)=Aexp(-iΩt)、x'(t)、x''(t)を代入して mΩ^2+mγiΩ-k=0
となったのですが、この先どうすれば良いのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

stead2009

ひとつはk／mを置き直す、もう一つは答で角振動数にあたるルートの部分をω、指数部分の時定数をζと置いてγとk／mを逆算した形です（最初の形はみにくくなりますが）

回答No.2

stead2009

たぶんいいと思います。
e^iθ＝cosθ＋isinθを使うと一般解は

e^(at)*(C1cosbt+C2sinbt)

のような形にかけると思います（abcは定数）
あと、通常運動方程式の時点で定数部分をきれいにまとめて置き換えておくのをよく目にしますね。

お礼

運動方程式は
m(d^2)x/dt^2=-kx-mγv
となると思うのですが、これをどう置き換えればよいのでしょうか。

回答No.1

stead2009

最後の式をΩについて解いてΩを決定します。するとそのΩのときに、代入したxは微分方程式を満足するわけですからそれが解になるわけです。一般に二つの解が出てきますから、その任意定数倍の和が答えになります。（あえて細かく書きませんのでご自分で試してください）

お礼

早速回答してくださってありがとうございます。
4k=mγ^2、4k＞mγ^2、4k＜mγ^2の場合に分けて解いたところ、添付画像のようなとんでもないことになってしまいました。
こんなのでいいのでしょうか？